专题04 二元一次方程组重难点（参数问题、实际应用问题）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

专题04 二元一次方程组重难点（参数问题、实际应用问题） 思维导图 核心考点聚焦 1.忽略二元一次方程中一次项系数不为0 2.解二元一次方程组中符号错误或方程变形漏乘 3.构造二元一次方程组求解 4.二元一次方程组中同解方程组 5.已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 6.二元一次方程组的特殊解法 7.二元一次方程组的应用——古代问题 8.二元一次方程组的应用——方案问题 9.二元一次方程组的应用——销售、利润问题 10.二元一次方程组的应用——几何问题 一、二元一次方程（组）概念及解 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程. 注意：二元一次方程的识别方法 ①“二元”，即含有两个未知数；②“一次”，即含未知数的次数是1；③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中. 2.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组． 注意：①含有两个整式方程；②方程中共含有两个未知数；③含未知数的项的次数都是1． 3.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解． 注意：①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数； ②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解. 4.二元一次方程组的解：我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 注意：①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程； ②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来． 5.二元一次方程组解的情况：（1）唯一解；（2）无数解；（3）无解． 二、二元一次方程组的解法 1.代入消元法 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法. 注意：①找准消元对象.消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简； ②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式； ③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单． 2.加减消元法 把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法. 注意：①化为标准形式.用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错； ②选准消元对象.当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单. 三、同解问题 方法技巧：理解方程组的解的实质，由方程组消去未知系数，构造只含两个未知数的二元一次方程，再根据其他条件求出两个未知数的值，最后回代求出未知数的值. 题型： 1.一个二元一次方程组和一个二元一次方程的同解，可以理解为三个方程有相同的解，可以选择其中两个构成二元一次方程组求解，再代入另一个方程求参数的值；或理解为三个方程构成一个三元一次方程组求解； 2.两个方程组有相同的解可以理解成四个方程具有相同的解，先将不含参数的方程联立成方程组，求出未知数的值，然后代入含有参数的方程即可求出参数的值. 四、列方程组解应用题步骤 1.列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等. 2.解应用题的一般步骤为： ①审题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式； ②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数； ③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程； ④解答. 五、分析数量关系的常用方法 1.直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出等量关系，翻译成含有未知数的等式. 2.列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析.这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系. 六、一次函数与二元一次方程（组） 1．一次函数与二元一次方程的关系 一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2．一次函数与二元一次方程组的关系 如果两个一次函数的图象有一个交点，