专题03 一次函数的应用（方案选择、最大利润问题、综合问题）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

专题03 一次函数的应用（方案选择、最大利润问题、综合问题） 思维导图 核心考点聚焦 1.分配方案问题 2.最大利润问题 3.与面积有关的几何问题 4.与折叠有关的几何问题 5.分段函数 一、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤 （1）设定实际问题中的变量； （2）建立一次函数表达式； （3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义； （4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值； （5）写出答案． 二、分段函数 有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数关系，或者虽然还是一次函数关系，但函数的表达式发生了变化.这种变化反映在函数图象上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数. 在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图象，我们需要对两个函数的相关变量进行对比. 1.利用一次函数解决实际问题的最值问题，先求一次函数的表达式，根据自变量的范围，求出最值. 2.分段函数，描点，连线，通过新图象得出新性质. 考点剖析 考点一、分配方案问题 例题1：某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元． （1）甲，乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？ 【解析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 根据题意得，解得． 答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元． （2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人（6–m）台， 根据题意得，解得2≤m≤4． 设6台机器人每小时的分拣量为w，则w=1400m+1200（6–m）=200m+7200． ∵200＞0，∴w随m的增大而增大， ∴当m=4时，w取得最大值，此时6–m=6–4=2， ∴购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大． 答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元． 考点二、最大利润问题 例题2：某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润各多少元； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑a台，这100台电脑的销售总利润为w元．该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【解析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元， 根据题意得，解得． 答：每台A型电脑的销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元． （2）设购进A型电脑台，购进型电脑台, 根据题意得,即， ∵，， ∵为正整数，即关于的函数表达式为：且为正整数)． ∵，∴随的增大而减小， 且为正整数，∴当时, 取最大值,这时元，则(台)， 即商店购进台A型电脑和台型电脑的销售利润最大． 考点三、与面积有关的几何问题 例题3：如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数表达式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【解析】（1）对于直线l：， 当时，；当时，，点，点． （2），，， 当时，，， 当时，，， 的面积S与M的移动时间t之间的函数表达式为． （3）当M在线段上时，，， 此时（秒），； 当M在线段的延长线上时，， 则，此时所需要的时间为（秒）． 综上所述，M点的坐标是或． 考点四、与折叠有关的几何问题 例题4：如图1，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【解析】（1）当时，，所以点的坐标为； （2），，， 当时，，所以，， 由折叠知，，， ． 设，则，， 在中，， 即，解得，的长为． 考点五、分段函数 例题5：某数学兴趣小组，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：其中m＝__________． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 2 3 4 5 … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出