特训03 一元函数的导数及其应用 压轴题（七大母题型归纳）-2023-2024学年高二数学《重难点题型•高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）

特训03 一元函数的导数及其应用 压轴题（七大母题型归纳） 目录： 题型1：利用导数证明不等式 题型2：利用导数研究不等式恒成立问题 题型3：利用导数研究存在性、有解问题 题型4：利用导数研究函数的零点 题型5：利用导数研究函数图像及性质 题型6：利用导数研究双变量问题 题型7：利用导数研究极值偏移问题 题型1：利用导数证明不等式 1．已知函数（）. (1)证明：； (2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）. 2．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求的值； (3)求证：. 3．已知函数，其中． (1)当时，求证：在上单调递减； (2)若有两个不相等的实数根． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 题型2：利用导数研究不等式恒成立问题 4．已知函数. (1)若时，求曲线在点处的切线方程； (2)若时，求函数的零点个数； (3)若对于任意，恒成立，求的取值范围. 5．已知函数. (1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程； (2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数． (1)当时，求函数图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)是否存在实数，对任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 题型3：利用导数研究存在性、有解问题 7．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：存在正实数，使得. 8．已知函数，. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，设函数，求证：有解. 9．已知函数，，是的导函数. (1)证明：在上存在唯一零点； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 题型4：利用导数研究函数的零点 10．已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数). 11．已知函数在定义域内有两个不同的零点，． (1)求证： (2)已知，若存在，不等式对任意的总成立，求的取值范围． 12．已知，函数. (1)证明：有且仅有一个极小值点； (2)设是的唯一零点，证明：. 题型5：利用导数研究函数图像及性质 13．已知函数. (1)若在恒成立，求a的取值范围； (2)若，求证：函数的图象在函数图象的下方. 14．设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，的图象与的图象有2条公切线. 15．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记，则函数在点处的曲率为. (1)求证：抛物线（）在处弯曲程度最大； (2)已知函数，，，若，曲率为0时的最小值分别为，，求证：. 题型6：利用导数研究双变量问题 16．已知函数，为的导函数． (1)当时，讨论函数的单调性 (2)已知，，若存在，使得成立，求证：． 17．已知A是直线和曲线的一个公共点. (1)若直线与曲线相切于点A，求的值； (2)设点A的横坐标为，当在区间上变化时，求的最大值； (3)若直线与曲线另有一个不同于A的公共点，求证：线段中点的纵坐标大于1. 18．关于函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在处的切线垂直于直线，对任意两个正实数，，且，有，求证：. 题型7：利用导数研究极值偏移问题 19．已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 20．已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 21．已知函数，．（为自然对数的底数） (1)当时，求函数的极大值； (2)已知，，且满足，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 一元函数的导数及其应用 压轴题（七大母题型归纳） 目录： 题型1：利用导数证明不等式 题型2：利用导数研究不等式恒成立问题 题型3：利用导数研究存在性、有解问题 题型4：利用导数研究函数的零点 题型5：利用导数研究函数图像及性质 题型6：利用导数研究双变量问题 题型7：利用导数研究极值偏移问题 题型1：利用导数证明不等式 1．已知函数（）. (1)证明：； (2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分析本题题意，首先设并求导，进行下一步计算求出的值，最后得出. （2）根据（1）进行下一步分析时情况，进一步证明，运算后得，在上单调递增，最后得出. 【详解】（1）证明：（1）令，，则，令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，. 令，由得，，可得，∴，即. （2）（2）由（1）知，则，即则当时，，…，，则，则（），∴当时， ，接下来只需证明：，即，即证，由函数中，