4.1 因式分解-【教材解读】2024春七年级下册数学（浙教版)

第４章　因式分解 ４．１　因式分解 'F 对多 项 式 进 行 因 式 分 解 时,等 号 右 边 的 式 子 应 满 足以下三个条件: (１)式子是积的形式; (２)每个因式都是整式; (３)每 个 因 式 都 不 能 再 分解． 知识点一　因式分解的意义 因式分解可以形象地表示为 多项式 　化成　 →几个整式的积的形式 它是一种恒等变形．如无论字母a 和b取何值,a２－b２ 与(a＋b)(a－b)的值总是相等的． 【例１】下列代数式变形中,是因式分解的有　　　　． ①２４x２y＝４x􀅰６xy;②(x＋５)(x－５)＝x２－２５; ③x２＋２x－３＝(x＋３)(x－１);④９x２－６x＋１＝ ３x(３x－２)＋１;⑤x２＋１＝x(x＋ １ x ) ;⑥３xn＋２＋２７xn＝ ３xn(x２＋９)． 解析: 序号 分析 结论 序号 分析 结论 ① ２４x２y 是 单 项式 不是 ④ 等式右边不是 乘积形式 不是 ② 变 形 是 整 式 乘法 不是 ⑤ x ＋ １ x 不 是 整式 不是 ③ 符合因式分解 的概念 是 ⑥ 符合因式分解 的概念 是 答案:③⑥ 知识点二　因式分解与整式的乘法的关系 因式分解和整式的乘法有互逆关系,即 (a＋b)(a－b) 整式的乘法 因式分解 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 a２－b２． ２３１ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)根据因式分解与整式的乘法的关系,可 以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性． (２)如无特殊说明,一般要求在有理数范围内进 行因式分解． 【例２】检验下列因式分解是否正确． (１)x２－xy－６y２＝(x＋２y)(x－３y); (２)２m２－５mn＋２n２＝(２m－n)(m＋２n)． 解:(１)因为(x＋２y)(x－３y)＝x２－３xy＋２xy－６y２＝ x２－xy－６y２,所以因式分解正确． (２)因为(２m －n)(m ＋２n)＝２m２＋４mn－mn－ ２n２＝２m２＋３mn－２n２≠２m２－５mn＋２n２,所以因式 分解不正确． 'F (１)整式的乘法是向着“积 化和差”的形式发展,而因 式分解是向着“和差化积” 的形式发展． (２)检 验 因 式 分 解 是 否 正 确,只需要检验等式右边的 几个整式相乘的积与左边 的多项式是否相等． 题型一　因式分解在简化运算中的应用 【例１】计算: (１)２９×２０．１８＋７２×２０．１８＋１３×２０．１８－２０．１８×１４; (２)３９×３７－１３×３４． 审题关键:遇到复杂数的计算,要观察式子特点:若各 项中含有相同的因数(或可转化为含有相同的因 数),则可逆用乘法分配律简化计算． 破题思路:(１)算式中每一项都含有２０．１８,直接逆用 乘法分配律计算． (２)１３×３＝３９,算式中每项都可以凑出３９,可以逆 用乘法分配律进行计算． 解:(１)２９×２０．１８＋７２×２０．１８＋１３×２０．１８－２０．１８×１４ ＝２０．１８×(２９＋７２＋１３－１４) ＝２０．１８×１００ ＝２０１８． (２)３９×３７－１３×３４ ＝３９×３７－３９×２７ ＝３９×(３７－２７) ＝３９×１０ ＝３９０． １．计 算:１２×３．１４＋３× (－９．４２)＝ ． ２．计算: (１)７．６×２０１．８＋４．３× ２０１．８－１．９×２０１．８; (２)１２３× ９８７ １３６８＋２６８× ９８７ １３６８＋４５６× ９８７ １３６８＋ ５２１× ９８７ １３６８． ３３１ ３．试说明:若一个三位数的 百位上的数字与个位上 的数字交换位置,则原数 与 新 数 之 差 能 被 ９９ 整除． ４．试说明:２５７＋５１３是３０的 倍数． ５．若(x－３)(x＋５)是把多 项式x２＋px＋q 分解因 式 的 结 果, 则 p＝ ,q＝ ． ６．已知关于x 的二次三项 式３x２－mx＋n 分解因 式 的 结 果 为 (３x ＋ ２)(x－１),求m,n的值． 题型二　因式分解与整式的乘法的关 系的综合 判断能否整除 【例２】试说明:３２０１６－３２０１５－３２０１４一定能被１５整除． 审题关键:将式子整理,化为１５与某一个整数的积． 破题思路: 逆用乘法 分配律 → 整理括号中 的代数式