3.7 整式的除法-【教材解读】2024春七年级下册数学（浙教版)

３．７　整式的除法 知识点一　单项式除以单项式 法则 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的 因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指 数作为商的一个因式 示例 实质 单项式除以单项式,实质上是将单项式除以单项式 转化为同底数幂的除法运算,运算结果仍是单项式 【例１】计算: (１)２８x５y３÷７x４y;(２)(３a２b３c４)２÷ ( － １ ３a ２b４) ． 解:(１)原式＝(２８÷７)􀅰(x５÷x４)􀅰(y３÷y)＝４xy２． (２)原式＝９a４b６c８÷ ( － １ ３a ２b４) ＝－２７a２b２c８． 4 单项式除以单项式的“三要” 一要分清被除式与除式的系数; 二要找准两式含有的相同字母; 三要观察是否有只在被除式中存在的字母． 知识点二　多项式除以单项式 法则 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个 单项式,再把所得的商相加 符号 表示 (m≠０) 其中a,b,c,m 都是单项式 实质 多项式除以单项式,实质上是将多项式除以单项式转化 为单项式除以单项式的除法运算 'F (１)先确定商的系数,系数 相除所得的数作为商的系 数,要 特 别 注 意 系 数 的 符号． (２)运算时,不要忽略了仅 在被除式里含有的字母,在 商中要将字母及其指数一 并写上． 'F (１)多项式除以单项式的商 是一个多项式,商的项数与 多项式的项数相同． ３２１ (２)多 项 式 中 的 每 一 项 都 包含它前面的符号．商中每 一项的符号是由被除式中 每项的符号与除式的符号 共同决定的． (３)多项式除以单项式时, 商为１(或 －１)的 项 不 能 漏掉． MKM ,MM +
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U * "K"E=O 【例２】计算: (１)(２１x４y３－３５x３y２＋７x２y２)÷(－７x２y); (２)[(x＋y)２－y(２x＋y)－８x]÷２x． 解:(１)(２１x４y３－３５x３y２＋７x２y２)÷(－７x２y) ＝２１x４y３ ÷ (－７x２y)－３５x３y２ ÷ (－７x２y)＋ ７x２y２÷(－７x２y)　 ＝－３x２y２＋５xy－y． (２)[(x＋y)２－y(２x＋y)－８x]÷２x ＝(x２＋２xy＋y２－２xy－y２－８x)÷２x ＝(x２－８x)÷２x ＝x２÷２x－８x÷２x ＝ １ ２x－４． 依次计算不漏项,符号变化要留意 多项式除以单项式转化为单项式除以单项式 时,要逐项计算,不要漏项,并且要注意符号的变化, 最后的结果按某一字母升幂或降幂的顺序排列． １．计算: (１)(３x２y)３􀅰(－５y); (２)[(x＋y)２－y(２x＋ y)－４x]÷２x; 题型一　整式的混合运算 【例１】计算:(１)(２x３y)２􀅰(－２xy)＋(－２x３y)３÷２x２; (２)[(x－２y)２－(x＋y)２]÷(－３y)． 审题关键:整式的混合运算要先确定运算顺序,再根据 公式或法则进行计算． 破题思路:(１)根据运算顺序,先算乘方,再算乘除,最 后算加减;(２)先用公式把(x－２y)２ 和(x＋y)２ 分 别展开,合并同类项,再利用多项式除以单项式的法 则进行计算． 解:(１)(２x３y)２􀅰(－２xy)＋(－２x３y)３÷２x２ ＝４x６y２􀅰(－２xy)＋(－８x９y３)÷２x２ ＝－８x７y３－４x７y３❶ ＝－１２x７y３． ４２１ (２)[(x－２y)２－(x＋y)２]÷(－３y) ＝[x２－４xy＋４y２－(x２＋２xy＋y２)]÷(－３y) ＝(－６xy＋３y２)÷(－３y) ＝２x－y．❷ 过程释疑: ❶(－８x９y３)÷２x２ ＝(－８÷２)􀅰(x９÷x２)􀅰y３ ＝－４x７y３． ❷(－６xy＋３y２)÷(－３y) ＝(－６xy)÷(－３y)＋３y２÷(－３y) ＝２x－y． " 整式混合运算的解题思路 (１)确定运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加 减,有括号的应先算括号里面的;同级运算按从左 往右依次计算． (２)看运算类型:看涉及哪些公式或法则,正确利用 公式或法则求解,注意符号不要弄错． (３)查运算结果:最终结果要化为最简,注意中间过 程可随时化简． 题型二　整式乘除法的综合应用 【例２】已 知 一 个 多 项 式 与 单 项 式 －７x５y４ 的 积 为 ２１x５y７－２８x７y４＋７y(２x３y２)２,求这个多项式． 审题关键:已知积与其中一个因式,求另一个因式,可 转化为整式的除法解决问题． 破题思路:由 条 件,得 这 个 多 项 式 等 于[２１x５y７ － ２８x７y４＋７y􀅰(２x３y２)２]÷(－７x５y４),从而转化 为多项式除以单项式． 解:[２１x５y７－２８x７y４＋７y(２