3.5 整式的化简-【教材解读】2024春七年级下册数学（浙教版)

３．５　整式的化简 % 整式的化简其实就是在遵 循运 算 顺 序 的 前 提 下,综 合 运 用 单 项 式 乘 单 项 式、 单项 式 乘 多 项 式、多 项 式 乘多 项 式、乘 法 公 式 等 进 行 计 算,以 达 到 化 简 的 目的． 知识点一　整式化简的一般步骤 整式化简的一般步骤如下: (１)观察所要化简的整式,明确所含的运算,确定运算 顺序; (２)选择运算法则和公式; (３)按选定的运算法则或公式,依照先乘方,再乘除,最 后加减的顺序进行计算; (４)结果中有同类项的一定要合并,使结果的形式保持 最简． 【例１】化简:(１)(３a－２)(３a＋２)－(a－５)(９a＋１); (２)(x＋１)(x－１)(x２＋１)－(x４＋１); (３)(a＋b＋c)２－(a－b－c)２． 解:(１)(３a－２)(３a＋２)－(a－５)(９a＋１) ＝９a２－４－(９a２＋a－４５a－５) ＝４４a＋１． (２)(x＋１)(x－１)(x２＋１)－(x４＋１) ＝(x２－１)(x２＋１)－(x４＋１) ＝x４－１－(x４＋１) ＝－２． (３)(a＋b＋c)２－(a－b－c)２ ＝(a＋b＋c＋a－b－c)(a＋b＋c－a＋b＋c) ＝２a(２b＋２c) ＝４ab＋４ac． 知识点二　根据实际问题列代数式并 求值的一般步骤 审:审题,理解题意; 列:根据题目中的数量关系列出代数式; 求:化简代数式,并求值． ２１１ 图３．５Ｇ１ 【例２】李明家计划将房子的窗户建造成图 ３．５Ｇ１中的样子,它的上部分是一个半圆, 下部分是一个正方形(正方形的边长与半 圆的直径相等),且正方形的边长是a m,后 来考虑为了能更好地采光,决定在保持窗 户形状不变的同时将正方形的边长扩大０．５m,问: (１)采光面积扩大了多少? (２)若a＝１．５,则采光面积扩大了多少(π≈３．１４,结果 精确到０．０１m２)? 解:(１)扩大的采光面积是(a＋０．５)２＋ １ ２π( a＋０．５ ２ ) ２ － a２＋ １ ２π( a ２ ) ２é ë ê ê ù û ú ú ＝a２＋a＋０．２５＋π􀅰 a２＋a＋０．２５ ８ －a ２－ πa２ ８ ＝ (１＋ π ８ )a＋ １ ４＋ π ３２ é ë ê ê ù û ú úm ２． 所以采光面积扩大了 (１＋ π ８ )a＋ １ ４＋ π ３２ é ë ê ê ù û ú úm ２． (２)当a＝１．５时, (１＋ π ８ )a＋ １ ４＋ π ３２≈ (１＋ ３．１４ ８ ) ×１．５＋ １ ４＋ ３．１４ ３２ ≈ ２．４４,即采光面积扩大了约２．４４m２． 'F 代入求值时,要代入到化简 后的式子中,方便运算． 题型一　整式的化简求值 【例１】先化简,再求值． y(x＋y)＋(x＋y)(x－y)－x２,其中x＝－２,y＝ １ ２． 审题关键:从题目要求即可看出,要先化简再求值,化 简时能用乘法公式的要用乘法公式． 解:y(x＋y)＋(x＋y)(x－y)－x２ ＝xy＋y２＋x２－y２－x２ ＝xy． １．先化简:(２x－１)２－(３x＋ １)􀅰(３x－１)＋５x(x－ １),再选取一个你喜欢的 数代替x 求值． ３１１ ２．老师给学生出了一道题: 当x＝２０１４,y＝１３５６ 时,求 ２x(x２－xy２)＋ x(２xy２－x２)的值．题目 出完后,小明看了看说: “老师给的条件y＝１３５６ 是多余的．”小敏说:“不 给这个条件,就不能求出 结果,所以不是多余的．” 你认为他们谁说得有道 理? 为什么? ３．解方程: (x＋１)２＋３(x＋２)(x－ ２)＝(４x＋１)(x－１)． 当x＝－２,y＝ １ ２ 时, 原式＝－２× １ ２＝－１． ?  　　化简是解决问题的手段,求值才是目的．解决 此类问题一般分两步,先化简,再代入求值,其中化 简是问题的关键． 题型二　整式化简的实际应用 【例２】老王去年开垦了一块边长为a m 的正方形试验 田,今年他把试验田进行了扩建,使各边长都增加了 ２m,现在试验田的面积是多少? 比原来增加了多少? 审题关键:本题主要考查利用整式化简解决问题,参照 “审－列－求”的步骤解答即可． 解:现在试验田的面积为(a＋２)２m２, 比原来增加了(a＋２)２－a２＝a２＋４a＋４－a２＝ (４a＋４)m２．　 题型三　整式化简在解方程中的应用 【例３】解方程: ( －２x２＋ １ ２) ( －２x ２－ １ ２) ＋ (１＋２x３)(－２x)＝１． 审题关键:先利用整式的乘法去掉括号,进而化简整 式,再按照解一元一次方程的一般步骤解方程． 解:去括号,得(－２x２)２－ ( １ ２) ２ ＋(－２x－４x４)＝１． 整理,得４x４－ １ ４－２x－４x ４