3.4 乘法公式-【教材解读】2024春七年级下册数学（浙教版)

３．４　乘法公式 知识点一　平方差公式 平方差公式 公式 (a＋b)(a－b)＝a２－b２,即两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 特征 (１)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有 一项完全相同,另一项互为相反数; (２)右边是两项的平方差,即相同项的平方减去互为 相反数项的平方 巧记 两数和乘两数差,等于两数平方差 图示 左侧阴影部分的面积等于右侧阴影部分的面积,即 (a＋b)(a－b)＝a２－b２ 平方差公式的“八般变化” (１)位置变化:(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝ a２－b２; (２)符号变化:(－a－b)(a－b)＝(－b)２－a２＝ b２－a２; (３)系数变化:(３a＋２b)(３a－２b)＝(３a)２－(２b)２＝ ９a２－４b２; (４)指数变化:(a２＋b３)(a２－b３)＝(a２)２－(b３)２＝ a４－b６; (５)增项变化:(a＋２b－c)(a－２b＋c)＝a２－(２b－ c)２＝a２－４b２＋２bc＋２bc－c２＝a２－４b２＋４bc－c２; 'F (１)公式中的字母a,b 可以 表示具体的数,也可表示单 项式或多项式．若公式中的 a 与b 不 是 单 个 数 字 或 字 母,运 用 公 式 计 算 时 要 加 括号． (２)运用平方差公式的关键 是确定公式(a＋b)(a－b)＝ a２－b２ 中的a 和b,完全相 同的项是a,符号相反的项 是b,确定a 和b 后套用公 式即可． ３０１ 'F 公式中的字母a,b 可以表 示具 体 的 数,也 可 表 示 单 项式或多项式． (６)增因式变化:(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝ (a２－b２)􀅰[(－a)２－b２]＝(a２－b２)２; (７)连用公式变化:(a＋b)(a－b)(a２＋b２)＝(a２－ b２)(a２＋b２)＝a４－b４; (８)逆用公式变化:a２－b２＝(a＋b)(a－b)． 【例１】计算: (１)(３x＋２y)(３x－２y);　　 (２)(－４x＋５y)(－４x－５y); (３)(a＋b－c)(a＋b＋c); (４)(x＋２)(x－２)(x２＋４)． 解:(１)(３x＋２y)(３x－２y) ＝(３x)２－(２y)２ ＝９x２－４y２． (２)(－４x＋５y)(－４x－５y) ＝(－４x)２－(５y)２ ＝１６x２－２５y２． (３)(a＋b－c)(a＋b＋c) ＝(a＋b)２－c２ ＝a２＋ab＋ab＋b２－c２ ＝a２＋b２＋２ab－c２． (４)(x＋２)(x－２)(x２＋４) ＝(x２－４)(x２＋４) ＝x４－１６． 知识点二　两数和的完全平方公式 公式 (a＋b)２＝a２＋２ab＋b２,即两数和的平方,等于这两数 的平方和,加上这两数积的２倍 图示 左侧图形的面积等于右侧的三部分图形面积的和,即 (a＋b)２＝a２＋２ab＋b２ ４０１ 【例２】计算:(１)(３x＋１)２;　(２)１０１２． 解:(１)(３x＋１)２ ＝(３x)２＋２×(３x)×１＋１２ ＝９x２＋６x＋１． (２)１０１２ ＝(１００＋１)２ ＝１００２＋２×１００×１＋１２ ＝１０２０１． 知识点三　两数差的完全平方公式 两数差的完全平方公式 公式 (a－b)２＝a２－２ab＋b２,即两数差的平方,等于这 两数的平方和,减去这两数积的２倍 图示 方法 １:空 白 部 分 是 一 个 边 长 为 (a－b)的正方形,面积为(a－b)２; 方法２:空白正方形的面积＝大正方 形的面积－①的面积－②的面积－ ③的面积＝a２－２(a－b)b－b２＝ a２－２ab＋b２． 两种方 法 得 到 的 空 白 正 方 形 的 面 积 相 等,即 (a－b)２＝a２－２ab＋b２ 完全平方公式的“九般变化” (１)a２＋b２＝(a＋b)２－２ab＝(a－b)２＋２ab; (２)ab＝ １ ２ [(a＋b)２－(a２＋b２)]; (３)(a＋b)２＋(a－b)２＝２(a２＋b２); (４)(a＋b)２－(a－b)２＝４ab; (５)(a＋b)２＝(a－b)２＋４ab; (６)(a－b)２＝(a＋b)２－４ab; (７)ab＝ ( a＋b ２ ) ２ － ( a－b ２ ) ２; (８)a２＋b２＋c２＋ab＋ac＋bc＝ １ ２ [(a＋b)２＋(b＋ c)２＋(a＋c)２]; (９)a２＋ １ a２＝ (a＋ １ a ) ２ －２． % (１)两数和的完全平方公式 与两数差的完全平方公式 统称为完全平方公式． (２)平方差公式和完全平方 公式也称乘法公式． 'F (１)利用完全平方公式计算 时,要 注意２ab 项的符号, 更不能漏掉该项． (２)运算时注意公式的变形 巧用,如(－a－b)２＝(a＋ b)２,(－a