3.3 多项式的乘法-【教材解读】2024春七年级下册数学（浙教版)

３．３　多项式的乘法  “皮球”公式 (x＋p)(x＋q)＝x２＋(p＋ q)x＋pq(p,q 为常数)． 公式特点:(１)相乘的两个 因式只含有一个相同的字 母,都是一次二项式,并且 一次项系数都为１;(２)乘 积是 二 次 三 项 式,二 次 项 系数是１,一次项系数等于 两 个 因 式 中 常 数 项 之 和, 常数项等于两个因式中常 数项之积． 'F 利 用 多 项 式 乘 法 法 则 时, 要 注 意 确 定 各 项 的 符 号, 即每一项都应带上它前面 的“＋”或“－”． 知识点　多项式乘多项式 法则 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项,再把所得的积相加 示例 图示 大长方形的面积等于四个小长方形的面 积之和 【例】计算:(１)(１－２x)(x２＋x－３); (２)(x＋２)(x－２)(x２＋４)． 解:(１)(１－２x)(x２＋x－３) ＝x２＋x－３－２x􀅰x２－２x􀅰x＋２x􀅰３ ＝x２＋x－３－２x３－２x２＋６x ＝－２x３－x２＋７x－３． (２)(x＋２)(x－２)(x２＋４) ＝(x２－２x＋２x－４)(x２＋４) ＝(x２－４)(x２＋４) ＝x４＋４x２－４x２－１６ ＝x４－１６． 4 (１)进行多项式乘多项式的运算时,要按一定的顺序 进行,做到不重不漏． (２)多项式与多项式相乘的结果中若有同类项,必须 合并同类项． (３)多项式与多项式相乘,合并同类项前的结果仍是多 项式,合并同类项之前积的项数等于多项式项数之积． ８９ 题型一　利用多项式乘多项式的法则计算 【例１】计算: (１)(m＋２)(m＋３)－(m＋６)(m－１); (２)８n２－(n－２)(３n＋１)－２(n＋１)(n－５)． 审题关键:先按照多项式乘多项式法则计算,再去括 号、合并同类项． 破题思路: 多项式乘多 项式法则 → 单项式的 乘法法则 → 合并同 类项 → 求出 结果 　 解:(１)(m＋２)(m＋３)－(m＋６)(m－１) ＝(m２＋３m＋２m＋６)－(m２－m＋６m－６) ＝m２＋５m＋６－m２－５m＋６＝１２． (２)８n２－(n－２)(３n＋１)－２(n＋１)(n－５) ＝８n２－(３n２＋n－６n－２)－２(n２－５n＋n－５) ＝８n２－３n２＋５n＋２－２n２＋８n＋１０ ＝３n２＋１３n＋１２． " 括号用好,出错就少 把多项式相乘的积先用括号括起来,再去括 号、合并同类项,防止弄错符号． 题型二　利用多项式的乘法化简求值 【例２】先化简,再求值:(３m－２n)(３m＋２n)－(３m－ ２n)２,其中m＝２,n＝－１． 审题关键:解决此类问题的关键是利用多项式乘多项 式的法则准确化简式子． 破题思路: 多项式乘多 项式的法则 → 去括号、合并 同类项 → 将m,n 的值 代入计算 １．计算: (１)(x －７)(x ＋３)－ (x＋４)(x－１); (２)４x(x－２)－ (２x＋ ３)􀅰(２x－５); (３)(x＋y)(x２ －２x－ ３)－x(x－y); (４)(x＋３)(x－３)(x２＋ ９)＋x(x２－１６)． ２．若x,y 满足 x＋y＝３, x－２y＝６,{ 求(２x－３y)(３x－４y) 的值． ９９ ３．解下列方程: (１)(x－１)(３x－４)＝ ３x(x－３)＋８; (２)x(３x－４)＋(２x－ ３)􀅰(x＋７)＝５x(x－ ７)＋９０． ４．若２－３x 与ax＋１的乘 积中无 x 的二次项,则 a＝ ．　 解:(３m－２n)(３m＋２n)－(３m－２n)２ ＝９m２＋６mn－６mn－４n２－(３m－２n)(３m－２n) ＝９m２－４n２－(９m２－６mn－６mn＋４n２) ＝９m２－４n２－(９m２－１２mn＋４n２) ＝９m２－４n２－９m２＋１２mn－４n２＝１２mn－８n２． 当m＝２,n＝－１时, 原式＝１２mn－８n２＝１２×２×(－１)－８×(－１)２＝ －２４－８＝－３２． >4 　　化简求值题一定要先化简再求值,代入求值 时,注意括号的应用,防止出现符号错误． 题型三　利用多项式的乘法解方程 【例３】解方程:４x(x－２)－(２x＋３)(２x－５)＝０． 审题关键:利用多项式的乘法法则求解． 破题思路:先利用法则将方程化简,再移项、合并同类 项,求出方程的解． 解:４x(x－２)－(２x＋３)(２x－５)＝０． ４x２－８x－(４x２－１０x＋６x－１５)＝０． ４x２－８x－４x２＋１０x－６x＋１５＝０． －４x＋１５＝０． －４x＝－１５． x＝ １５ ４． ?  　　在解方程的过程中要记住两次变号,一是去括 号的时候,括号前面是负号的括号内的各项要变 号;二是移项变号． 题型四　利