2.4 二元一次方程组的应用-【教材解读】2024春七年级下册数学（浙教版)

２．４　二元一次方程组的应用 'F (１)把“未 知”和“已 知”同 样对 待:列 方 程 组 解 应 用 题时,把 “未 知”看 成 “已 知”,想办法将二者联系起 来是关键． (２)不可忽略检验:解方程 组的过程不能保证正确无 误,所 得 结 果 也 不 一 定 符 合问 题 的 实 际 意 义,所 以 必须进行检验． 知识点一　列二元一次方程组解 实际问题的一般步骤 问题解决的基本步骤(理解问题、制订计划、执行计划 和回顾)适用于应用二元一次方程组解决实际问题． 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 审 ⇨ 设 ⇨ 列 ⇨ 解 ⇨ 验 ⇨ 答􀪋 　　 　 􀪋 　 　 􀪋 　　　 􀪋 　　 􀪋 　　 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋弄清题意 和题目中 的数量关 系,找 出 实际问题 中的两个 等量关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋用两个 字母表 示题目 中的两 个未知 数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋根 据 两 个 等 量 关 系 分 别 列 出 方程,从 而 得 到 方程组 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解方 程组 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋检验解 是否符 合原方 程组和 实际情 况 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋写出 答案 【例】有两批货物,第一批为３６０t,用５节火车车厢和１２ 辆汽车正好装完;第二批为５００t,用７节火车车厢和 １６辆汽车正好装完．每节火车车厢和每辆汽车平均各 装货物多少吨? (请列二元一次方程组解决问题) 解:设每节火车车厢、每辆汽车分别平均装货物xt,yt． 由题意,得 ５x＋１２y＝３６０ , ７x＋１６y＝５００,{ 解得 x＝６０, y＝５．{ 所以每节火车车厢和每辆汽车平均各装货物６０t,５t． 4 列二元一次方程组必须满足的三个条件 (１)方程两边表示的是同类的量． (２)同类量的单位要统一． (３)方程两边表示的量的数值要相等． ４６ 知识点二　列二元一次方程组解实 际问题的常见类型 类型 基本数量关系 和差倍分问题 较大量＝较小量＋多余量; 总量＝一份的量×份数 等积变形问题 V长方体 ＝abh,V正方体 ＝a３, V柱体 ＝Sh,V锥体 ＝ １ ３Sh 行程问题 路程(s)＝速度(v)×时间(t)． (１)相遇问题:甲路程＋乙路程＝总距离． (２)追及问题: ①同地不同时出发:前者走的路程＝追者走 的路程; ②同时不同地出发:前者走的路程＋两地距 离＝追者走的路程． (３)航行问题: ①顺水速度＝静水速度＋水流速度; ②逆水速度＝静水速度－水流速度 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 分配问题 调配前后总量不变; 调配后双方有新的倍分关系 利润问题 利润＝售价－进价; 利润率＝ 利润 进价×１００％＝ 售价－进价 进价 ×１００％; 进价＝售价÷(１＋利润率) 'F (１)解决实际问题时,一般 地,如果设的未知数少,那 么思路复杂,但计算简单; 如果设的未知数多,那么思 路简单,但 计 算 复 杂．需 根 据具体的题目选择要设的 未知数的个数． (２)有时间接设未知数更易 列方程组．列方程组解应用 题一般怎样问就怎样设,但 当较复杂的问题中包含的 量较多,且所求量与已知量 之间的关系不明确时,间接 设未知数可架起已知和待 求之间的“桥梁”,更易列出 方程组． ５６ １．某环行跑道一圈长４００m, 若甲、乙两名运动员从起 点同时出发,相背而行, ２５s后相遇;若甲从起点 先跑２s后,乙从该点同 向出发追甲,３s后乙追 上甲,求甲、乙两人的速 度(前后两次甲、乙的速 度分别不变)． ２．张明沿公路匀速前进,每 隔４min就迎面开来一