9.2 多边形的内角和与外角和-【教材解读】2024春七年级下册数学（华东师大版)

９．２　多边形的内角和与外角和 'F (１)多 边 形 分 为 凸 多 边 形 (即把 任 何 一 条 边 向 两 方 无限 延 长 成 为 一 条 直 线 时,其 他 各 边 都 在 这 条 直 线的同侧)和凹多边形,现 在我们只研究凸多边形． (２)正 多 边 形 必 须 同 时 具 备各 边 都 相 等,各 内 角 也 都相 等 这 两 个 条 件,二 者 缺一不可．例如,长方形的 四个 内 角 相 等,但 四 条 边 不一 定 相 等,故 不 一 定 是 正四边形． 知识点一　多边形的有关概念 多边形的有关概念 多边形的表示方法 多边形的对角线 【例１】图９．２Ｇ１中是多边形的有 (只填序号),它 们的对角线的条数分别是　　　　． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图９．２Ｇ１ 解析:根据多边形的概念可知,是多边形的有③④,①② ⑤因均含曲线,故不是多边形,⑥⑦不是线段首尾顺次 连结的封闭图形,也不是多边形． 答案:③④　５,２ ２４１ 4 构成多边形的三个条件 (１)由n 条线段组成; (２)n 条线段不在同一直线上; (３)n 条线段首尾顺次连结的平面图形．三个条件,缺 一不可． 知识点二　多边形的内角和 多边形的内角和公式 推导方法 (１)对角线法(如下表) 多边形 图形 边数 从任一顶点引出 的对角线的条数 将多边形分成的 三角形的个数 多边形的 内角和 四边形 ４ １ ２ ２×１８０° 五边形 ５ ２ ３ ３×１８０° 六边形 ６ ３ ４ ４×１８０° 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 􀆺 n 边形 n n－３ n－２ (n－２)􀅰 １８０° (２)其他的推导方法  一个n 边形共有n 个顶点, n 条边,n 个角,２n 个外角, n(n－３) ２ 条对角线． 'F (１)n 边形的内角和与其边 数有 关,每 增 加 一 条 边,其 内角和就增加１８０°． (２)正n 边形每个内角的度 数都等于 (n－２)􀅰１８０° n ． ３４１ % 多边形内角和的应用 (１)已 知 多 边 形 的 边 数 求 内 角 和,直 接 套 用 公 式 即可． (２)已 知 多 边 形 的 内 角 和 求边数．一般先设出边数, 以多边形的内角和公式为 基础,利 用 方 程 思 想 来 解 决,这 是 解 决 此 类 问 题 的 常用方法． 'F (１)n 边形有２n 个外角,但 外角和只是在每个顶点处 取一个外角相加的和． (２)因为n 边形的每个 内 角与它的相邻的外角都互 为补角,所 以n 边 形 内 角 和加 外 角 和 等 于n􀅰１８０°, 所以外角和等于n􀅰１８０°－ (n－２)􀅰１８０°＝３６０°,即任 意多边形的外角和都等于 ３６０°,是 个 定 值,与 边 数 无关． 【例２】(１)五边形的内角和是 (　　) A．１８０°　　　　B．３６０°　　　　C．５４０°　　　　D．６００° (２)一个多边形的内角和是９００°,这个多边形的边数是 (　　) A．１０ B．９ C．８ D．７ 解析:(１)当n＝５时,(n－２)􀅰１８０°＝(５－２)×１８０°＝ ５４０°．所以五边形的内角和是５４０°．故选C． (２)设这个多边形的边数是n．由题 意,得(n－２)􀅰 １８０°＝９００°,解得n＝７．故选 D． 答案:(１)C　(２)D 知识点三　多边形的外角和 【例３】一个多边形的每个外角都是６０°,这个多边形是几 边形? 解:设多边形的边数为n,根据题意,得 n􀅰６０°＝３６０°,解得n＝６． 因此,这个多边形是六边形． 4 多边形的内角和与外角和的两点区别 (１)多边形的内角和是指所有内角的度数之和,而它 的外角和是各个顶点处只取一个外角的和． (２)多边形的内角和与边数有关,而其外角和与边数 无关．由多边形的边数可求得其内角和,反之亦可,而 由外角和无法确定多边形的边数(已知外角度数,且 外角均相等的多边形除外)． ４４１ 题型一　正多边形内角和、外角和的计算 【例１】若正多边形的一个内角为１６０°,求该正多边形的 边数和内角和． 审题关键:正多边形的每个内角都相等,因此正多边 形的内角和等于一个内角与正多边形边数的乘积． 破题思路: 解:设此正多边形为正n 边形, 因为正多边形的一个内角为１６０°, 所以一个外角为２０°, 又因为多边形的外角和为３６０°, 所以２０°×n＝３６０°,解得n＝１８． 故此正多边形的内角和为１６０°×１８＝２８８０°． " 巧用正多边形的特殊性解决角的问题 (１)正多边形是一类特殊的多边形,它具有边相等、 角相等的特性．因此,它的内角和除了用多边形内 角和公式表示外,还可以借助任意一个内角求得． (２)涉及正多边形的外角时,通常应用 ３６０°