8.2 解一元一次不等式-【教材解读】2024春七年级下册数学（华东师大版)

８．２　解一元一次不等式 知识点一　不等式的解集的概念 概念 不等式的解集 一个不等式的所有解,组成这个不等式的 解的集合 解不等式 求不等式的解集的过程 不等式的解集的两个基本特征 (１)解集中的每一个数值都能使不等式成立; (２)能使不等式成立的每一个数值都在它的解集中． 【例１】下列说法正确的是 (　　) A．x＝３是不等式x＋１＞２的解集 B．不等式－４x＞８的解是x＜－２ C．不等式－６x＜１８的解集为x＜－３ D．x＝１是不等式２x－１＞０的解 解析:x＝３是不等式x＋１＞２的一个解而不是解集,故 选项 A错误;不等式的解应为某个值,而不是一个集 合,故选项B错误;取x＝－４,代入不等式－６x＜１８ 中可知不等式不成立,故选项C错误．故选 D． 答案:D 知识点二　不等式的解集在数轴上的表示 用数轴表示不等式的解集的步骤 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:(１)若不等号是“≤”或“≥”,则边界点为实 心圆点; (２)若不等号是“＜”或“＞”,则边界点为空心圆圈． % 不等式的解与不等式的 解集的区别与联系 区别:不等式的解是指满足 这个 不 等 式 的 未 知 数 的 某 个值,而不等式的解集是指 满足 这 个 不 等 式 的 未 知 数 的所有的值． 联系:不等式的所有解组成 了不等式的解集,解集中包 含每 一 个 解,也 就 是 说,不 等式的解是解集的一部分． 特别地,当不等式的解集只 有一个解时,不等式的解集 就是它的解．例如,x２≤０的 解集就是它的解x＝０． ７９ 用数轴表示不等式的解集的常见情况 类型 x＞a x＜a 数轴表示 说明 空心圆圈说明a 不是不等式的解 类型 x≥a x≤a 数轴表示 说明 实心圆点说明a 是不等式的解 【例２】在数轴上表示下列不等式的解集: (１)x≥－１;　(２)x＜－２;　(３)x＞ ５ ２ ; (４)x≤－１．５． 解:(１)如图８．２Ｇ１所示． 图８．２Ｇ１ (２)如图８．２Ｇ２所示． 图８．２Ｇ２ (３)如图８．２Ｇ３所示． 图８．２Ｇ３ (４)如图８．２Ｇ４所示． 图８．２Ｇ４ ８９ 知识点三　不等式的性质 不等式的性质 性质 文字语言 符号语言 性质１ 不等式的两边都加上(或 都减去)同一个数或同一 个整 式,不 等 号 的 方 向 不变 如果a＞b,那么 a＋c＞b＋c,a－ c＞b－c 性质２ 不等式的两边都乘以(或 都除以)同一个正数,不等 号的方向不变 如果a＞b,并 且 c＞０,那 么 ac ＞ bc, a c ＞ b c 性质３ 不等式的两边都乘以(或 都除以)同一个负数,不等 号的方向改变 如果a＞b,并 且 c＜０,那 么 ac ＜ bc, a c ＜ b c 不等式的简单变形 与解方程类似,解不等式的过程,就是利用不等式的 基本 性 质,将 不 等 式 进 行 适 当 的 变 形,得 到 x＞ a(x≥a)或x＜a(x≤a)的形式． 【例３】根据不等式的性质,把下列不等式化为x＞ a(x≥a)或x＜a(x≤a)的形式: (１)x－ １ ２＜－３ ;　(２)５x＜４x－６;　(３) ２ ３x＞－８ ; (４)２x≥６x＋１２． 解:(１)根据不等式的性质１,不等式的两边都加上 １ ２ ,不 等号的方向不变, 所以x－ １ ２＋ １ ２＜－３＋ １ ２ ,得x＜－ ５ ２． (２)根据不等式的性质１,不等式的两边都减去４x,不 等号的方向不变, 所以５x－４x＜４x－６－４x,得x＜－６． 'F (１)不等式的基本性质与等 式的基本性质非常相似,不 同之 处 在 于 不 等 式 的 两 边 都乘以(或 都 除 以)同 一 个 负数时,不等号要改变方向． (２)防 止 出 现 以 下 错 误:若 a＞b,则 a２ ＞b２．例 如, －３＞－５,但得不到(－３)２＞ (－５)２． 'F (１)无论对不等式进行何种 运算与变形,都要两边同时 进行,且对不等式两边进行 运 算 的 数 (或 整 式 )必 须 相同． (２)解方程中的移项法则在 解不等式中仍然成立． (３)不等式系数化为１与一 元一 次 方 程 系 数 化 为 １ 类 似,不等式的系数化为１依 据的 是 不 等 式 的 性 质 ２ 或 性质３． ９９  不等式