7.3 三元一次方程组及其解法-【教材解读】2024春七年级下册数学（华东师大版)

∗ ７．３　三元一次方程组及其解法 'F (１)三 元 一 次 方 程 组 中 共 含三 个 未 知 数,但 每 个 方 程不 一 定 都 有 三 个 未 知 数,如 ２x＝３, ３y＝１, z＝－１ ì î í ï ï ïï 就是一个三 元一次方程组． (２)三 元 一 次 方 程 组 的 解 满足 方 程 组 中 的 每 一 个 方程． % 判断三元一次方程组 要看三点 (１)看 每 个 方 程 是 不 是 整 式方程． (２)看 方 程 组 中 未 知 数 的 个数是不是３． (３)看 每 个 含 未 知 数 项 的 次数是不是１． 知识点一　三元一次方程(组)的概念 必备条件 三元一次方程 (１)是整式方程; (２)含三个未知数; (３)所含未知数项的次数都是１ 三元一次方程组 (１)三个方程都是整式方程; (２)共含三个未知数; (３)三个方程都是一次方程 三元一次方程组的解 方程组中各个方程的公共解 【例１】下列方程组中不是三元一次方程组的是 (　　) A． x＝５, x＋y＝７, x＋y＋z＝６ ì î í ï ï ï ï 　　　　　　B． x＋y＝３, y＋z＝４, z＋x＝２ ì î í ï ï ï ï C． ４x－９z＝１７, ３x＋y＋１５z＝１８, x＋２y＋３z＝２ ì î í ï ï ï ï 　　 D． x＋y－z＝５, xyz＝１, x－３y＝２ ì î í ï ï ï ï 解析:D 项的方程组中,方程xyz＝１不是一次方程．故 选 D． 答案:D 知识点二　三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路 三元一次 方程组 消元　 → 二元一次 方程组 消元　 → 一元一 次方程 ４６ 解三元一次方程组的一般步骤 　　　　步骤　　　　　　 【例２】解方程组: x＋y＋z＝２６, x－y＝１, ２x＋z－y＝１８． ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 　　　　　　　　 消元:利用代入法或加 减法,把方程组中的一 个方程与另外两个方程 分别组成方程组,消去 两个方程组中同一个未 知数,得到关于另外两 个未知数的二元一次方 程组． → 解:③－①,得 x－２y＝－８, ④ 联立②④,得 x－y＝１, x－２y＝－８．{ ↓ 求解:解这个二元一次 方程组,求出两个未知 数的值． → 解这个二元一次方 程组,得 x＝１０, y＝９．{ ↓ 回代:将求得的两个未 知数的值代入三元一次 方程组中系数较简单的 方程中,求出第三个未 知数的值． → 把x＝１０,y＝９代 入①, 得z＝７． ↓ 写解:写出方程组的解 并用“{”联立． → 所以原方程组的解 是 x＝１０, y＝９, z＝７． ì î í ï ï ï ï 知识点三　列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组与列二元一次方程组解决实际问 题的步骤类似,也是按照审、设、列、解、检、答进行, 'F 选择 方 程 组 中 的 任 何 两 个 方程,消去的必须是同一个 未知数,才可化为二元一次 方程组． 'F 解三元一次方程组时,不要 盲目求解,要依据各未知数 系数 的 特 点 选 择 适 当 的 消 元方法去求解,在将“三元” 转化为“二元”时,要注意以 下四点: (１)先消去某个方程缺少的 未知数; (２)先消去系数最简单的未 知数; (３)先消去系数成整数倍的 未知数; (４)注意整体加减或代入的 应用． ５６ 不同的是三元一次方程组解决实际问题一般需要找三 个等量关系,设三个未知数列出符合条件的三元一次 方程组以达到解决问题的目的． 【例３】某市举办足球联赛活动,这次足球联赛共赛１１ 场,胜一场记３分,平一场记１分,负一场记０分．某校 队负场数是胜场数的 １ ２ ,结果共得２０分．问该校队胜、 平、负各多少场? 分析:本题中的已知量有比赛总场数、总得分数、胜的场 数与负的场数之间的关系．等量关系有三个:(１)胜场 数＋负 场 数 ＋ 平 场 数 ＝１１;(２)胜场积分＋平场积 分＝总积分;(３)胜场数＝负场数×２．根据以上等量关 系列方程组,问题便能得到解决． 解:设该校队胜x 场、平y 场、负z场． 根据题意,得 x＋y＋z＝１１, ３x＋y＝２０, x＝２z, ì î í ï ï ï ï 解得 x＝６, y＝２, z＝３． ì î í ï ï ï ï 答:该校队胜６场、平２场、负３场． １．解方程组: ３x－２y＋z＝３, ２x＋y－z＝４, ４x＋３y＋２z＝－１０． ì î í ï ï ïï 题型一　巧解三元一次方程组 先消去系数最简单的未知数 【例１】解方程组: ５x－４y＋４z＝１３, ２x＋７y－３z＝１９, ３x＋２y－z＝１８． ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 审题关键:若组成方程组的三个方程中