6.1 从实际问题到方程-【教材解读】2024春七年级下册数学（华东师大版)

第６章　一元一次方程 ６．１　从实际问题到方程 知识点一　方程及方程的解 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)方程一定是等式,但等式不一定是方程． 例如,３＋１＝４是等式,但不含未知数,所以不是 方程． (２)方程中的未知数的个数不一定是一个,也可 以是两个或两个以上,如x＋y＝３是方程． 【例１】下列各式,哪些是方程? ①２x－５＝３;　　②５＋４＝９;　　　③４y－５; ④３m－５n＝７;　 ⑤３x２－２x＝７;　 ⑥x＋３＞４; ⑦x＋２≠３． 解:②不含未知数,③⑥⑦不是等式, 所以②③⑥⑦不是方程,①④⑤是方程． 【例２】检验下列方程后面括号里的数是不是相应方程 的解． (１)３x＋４＝２x＋２(x＝－２); (２) １ ２x－３＝２x－７ (x＝４)． % 方程必须满足两个条件: (１)是等式; (２)化简后含有未知数． 这两个条件必须同时满足, 缺一不可． １ 'F (１)列 方 程 解 应 用 题 的 关 键是找等量关系． (２)根据条件列方程时,要 对问题中出现的一些关键 字词加深理解,如“比􀆺􀆺 多(或 少)”“比 􀆺􀆺 多(或 少)百 分 之 几”“和”“差” “倍”“分”“增加(或减少)” 等．此类问题类似于列代数 式,将 同 一 个 量 用 不 同 的 代数 式 表 示,列 出 等 式 即 得方程． (３)在 设 未 知 数 和 作 出 解 答 时,要 注 意 有 关 量 的 单位．  未知数的设法 设未知数时,可以直接设, 求什 么 设 什 么;也 可 以 间 接设,需要什么设什么．未 知数 设 得 恰 当,则 等 量 关 系就 容 易 找 到,列 出 的 方 程就简单易解． 解:(１)当x＝－２时,左边＝３×(－２)＋４＝－６＋４＝ －２, 右边＝２×(－２)＋２＝－４＋２＝－２． 因为左边＝右边, 所以x＝－２是方程３x＋４＝２x＋２的解． (２)当x＝４时,左边＝ １ ２×４－３＝２－３＝－１ , 右边＝２×４－７＝８－７＝１． 因为左边≠右边, 所以x＝４不是方程 １ ２x－３＝２x－７ 的解． 知识点二　根据实际问题列方程 4 口诀法巧记列方程的步骤 读题设出未知数,分析题意找相等; 已知未知分清楚,列出等式得方程． ２ 题型一　方程的解的综合运用 【例１】若x＝－２是关于x 的方程３x＋４－ x ２＝a 的 解,则２a－３＝　　　　． 审题关键:解决此类问题的关键是根据方程的解的概 念将x 的值代入方程,求出字母的值,进而求出 结果． 解析:因为方程３x＋４－ x ２＝a 的解是x＝－２,所以将 x＝－２代入方程,得３×(－２)＋４－ １ ２× (－２)＝a,所 以a＝－１．所以２a－３＝２×(－１)－３＝－５． 答案:－５ " 让解“回家”,求字母的值 对于已给出方程的解且方程中含有其他字母 的题目,我们常根据方程的解的概念解决此类问 题,方法就是让解“回家”,即把方程的解代入方程, 利用方程左右两边的值相等求出字母的值． 题型二　根据题意列方程 【例２】(湖南湘潭中考)程大位«直指算法统宗»:一百馒 头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和 尚得几丁．意思是:有１００个和尚分１００个馒头,如果 大和尚１人分３个,小和尚３人分１个,正好分完．试 问大、小和尚各多少人? 设大和尚有x 人,依题意列 方程得 (　　) A． x ３＋３ (１００－x)＝１００　　B． x ３－３ (１００－x)＝１００ C．３x＋ １００－x ３ ＝１００ D．３x－ １００－x ３ ＝１００ １．已知x＝１是关于x 的方 程ax＋b＝c 的解,那么 |c－a－b－１|＝ 　． ２．若x＝ ２ ３ 是关于x 的方程 ３(１－ ３ ４x) ＋ ３ ２x＝m 的 解,求m 的值． ３．某中学学生志愿服务小组 在“学雷锋”活动中,购买 了一批牛奶到敬老院慰问 老人．如果送给每位老人 ２盒牛奶,那么剩下１６盒; 如果送给每位老人３盒牛 奶,那么正好送完．设敬老 院有x 位老人,依题意可 列方程为 　． ３ ４．一个长方形的长比宽多 ３cm,把它的长和宽分别 增加２cm 后,它的面积 增加 了 １６