第一章 6 完全平方公式-【教材解读】2024春七年级下册数学（北师大版)

第一章　整式的乘除 ３３　 0  0 ６　完全平方公式 􀅰会推导完全平方公式,能用完全平方公式进行有关计算． 􀅰了解完全平方公式的几何意义,发展几何直观素养． 知识点一　完全平方公式 １．公式推导: (a＋b)２＝(a＋b)(a＋b)＝a２＋ab＋ab＋b２＝a２＋ ２ab＋b２; (a－b)２＝(a－b)(a－b)＝a２－ab－ab＋b２＝a２－ ２ab＋b２． ２．公式:(a＋b)２ ＝a２ ＋２ab＋b２;(a－b)２ ＝a２ － ２ab＋b２． ３．语言表述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和 加上(或减去)它们积的２倍． ４．公式特征:(１)两个公式等号的左边都是一个二项式 的完全平方的形式,二者仅有一个“符号”不同; (２)两个公式等号的右边都是二次三项式,其中有两 项是等号左边二项式中每一项的平方,另外一项是等 号左边二项式中两项乘积的２倍,二者也仅有一个 “符号”不同． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意: 重要变形公式 (１)(a＋b)２＝(a－b)２＋４ab． (２)(a－b)２＝(a＋b)２－４ab． (３)(a＋b)２＋(a－b)２＝２a２＋２b２． (４)(a＋b)２－(a－b)２＝４ab． (５)a２ ＋b２ ＝(a＋b)２ －２ab＝(a－b)２ ＋２ab＝ (a＋b)２＋(a－b)２ ２ ． @ 首平方,尾平方, 积的２倍在中央, 和是加来差是减, 完全平方要记全． 0 C,LBU  UBB 公式中的字母可 以 是 单 项式,也 可 以 是 多 项 式．只 要 符合这一公式的结构特征,就 可以运用该公式． 数学　七年级　下册 ３４　 0  0 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (６)ab＝ １ ２ [(a＋b)２－(a２＋b２)]＝ １ ４ [(a＋b)２－ (a－b)２]＝ ( a＋b ２ ) ２ － ( a－b ２ ) ２ ． (７)(a＋b＋c)２＝a２＋b２＋c２＋２ab＋２bc＋２ac． (８)a２＋b２＋c２＋ab＋bc＋ac＝ １ ２ [(a＋b)２＋(b＋ c)２＋(a＋c)２]． 【例１】计算:(１)(２x＋y)２;　(２)(－２a＋５b)２; (３)(－３x－２y)２;　(４)(２a－３b＋c)２． 解 (１)(２x＋y)２＝(２x)２＋２􀅰２x􀅰y＋y２＝４x２＋ ４xy＋y２． (２)(－２a＋５b)２＝(－２a)２＋２􀅰(－２a)􀅰５b＋ (５b)２＝４a２－２０ab＋２５b２． (３)(－３x －２y)２ ＝ (－３x)２ ＋２􀅰 (－３x)􀅰 (－２y)＋(－２y)２＝９x２＋１２xy＋４y２． (４)(２a－３b＋c)２＝[(２a－３b)＋c]２ ＝(２a－３b)２＋２c(２a－３b)＋c２ ＝４a２－１２ab＋９b２＋４ac－６bc＋c２． 知识点二　完全平方公式的几何意义 １．验证(a＋b)２＝a２＋２ab＋b２ 如图①所示,一方面,大正方形的面积为(a＋b)２,另 一方面,大正方形的面积可看成四部分的面积之和, 则(a＋b)２＝a２＋ab＋ab＋b２＝a２＋２ab＋b２． 　 　图①　　　　　　　图② ２．验证(a－b)２＝a２－２ab＋b２ 如图②所示,一方面,阴影部分的面积为(a－b)２,另 一方面,阴影部分的面积可看成大正方形的面积减去 三块空白部分的面积,即(a－b)２＝a２－(a－b)􀅰b－ (a－b)􀅰b－b２＝a２－２ab＋b２． >" 运用完全平方公式时,首 先要确定是用“和”的形式,还 是用“差”的形式,然后根据选 择的公式确定谁相当于“a”, 谁相当于“b”,最后直接利用 公式计算． 从不同角度计算 几 何 图 形中阴影部分的面积,可验证 许多代数恒等式． 第一章　整式的乘除 ３５　 0  0 【例２】如图,一个边长为a＋b的大正方形可看成由一 个边长