第一章 5 平方差公式-【教材解读】2024春七年级下册数学（北师大版)

数学　七年级　下册 ２６　 0  0 ５　平方差公式 􀅰会推导平方差公式,能用平方差公式进行简单的计算和推理． 􀅰了解平方差公式的几何意义,发展几何直观素养． 知识点一　平方差公式 １．推导:根据多项式乘多项式的法则可知, (a＋b)(a－b)＝a２－ab＋ab－b２＝a２－b２． ２．公式:(a＋b)(a－b)＝a２－b２． ３．语言表述:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差． ４．公式特征:(１)公式的左边是两项之和与这两项之差 的乘积; (２)公式的右边是两项的平方差． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意: 平方差公式的重要变形 ①位置变化:(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a２－b２; ②符号变化:(－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－ b)＝－(a２－b２)＝b２－a２; ③系数变化:(ma＋nb)(ma－nb)＝(ma)２－(nb)２＝ m２a２－n２b２(m,n 为常数); ④指数变化:(am ＋bn)(am －bn)＝(am)２－(bn)２＝ a２m－b２n; ⑤增项变化:(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(b－ c)][a－(b－c)]＝a２－(b－c)２; ⑥连 用 变 化:(a＋b)(a－b)(a２ ＋b２)＝ (a２ － b２)(a２＋b２)＝a４－b４; ⑦逆向变化:a２－b２＝(a＋b)(a－b)． a a2 b2 a+b b ECb ,  U L+aU    (１)公式中的a 和b 可以 是单项 式,也 可 以 是 多 项 式． 当公式中的a 与b 不是单个 数字或字母时,运用公式计算 要加括号． (２)运用平方差公式的关 键是 确 定 公 式 (a＋b)(a－ b)＝a２－b２ 中的a 和b,完全 相同的项是a,符号相反的项 是b,确定a 和b 后套用公式 计算即可． 第一章　整式的乘除 ２７　 0  0 【例１】运用平方差公式计算: (１)( １ ２x－ １ ３y) ( １ ２x＋ １ ３y) ; (２)(－２x＋３y)(－３y－２x); (３)(x－２y＋３)(x＋２y－３); (４)(x＋１)(x－１)(x２＋１)(x４＋１)． 解 (１)( １ ２x－ １ ３y) ( １ ２x＋ １ ３y) ＝ ( １ ２x) ２ － ( １ ３y) ２ ＝ １ ４x ２－ １ ９y ２． (２)(－２x＋３y)(－３y－２x) ＝(－２x＋３y)(－２x－３y) ＝(－２x)２－(３y)２＝４x２－９y２． (３)(x－２y＋３)(x＋２y－３) ＝[x－(２y－３)][x＋(２y－３)]＝x２－(２y－３)２ ＝x２－(４y２－１２y＋９)＝x２－４y２＋１２y－９． (４)(x＋１)(x－１)(x２＋１)(x４＋１) ＝(x２－１)(x２＋１)(x４＋１) ＝(x４－１)(x４＋１)＝x８－１． 知识点二　平方差公式的几何意义 　如图①,边长为a 的大正方形中有一个边长为b的小 正方形,则图中阴影部分的面积为a２－b２． a b 图① 　　　 a b b a 图② 如图②,将图①中的阴影部分拼成一个长方形,这个 长方形的长为a＋b,宽为a－b,面积为(a＋b)(a－ b)．图①与图②中阴影部分的面积相等．因此,可以用 拼图的 方 法 验 证 平 方 差 公 式:(a＋b)(a－b)＝ a２－b２． 当两个三项式或 四 项 式 相乘时,要仔细观察式子的特 征,把三项式或四项式中的某 两项或某三项看成一个整体, 其中完全相同的项作为a,符 号相反的项作为b,灵活运用 平方差公式解题． "> 运用平方差公式计算的步骤 (１)找出完全相同的项和 符号相反的项; (２)套公式; (３)计算出结果． (１)用几何图形验证平方 差公式是有局限性的．这是因 为图形中的a,b只能是正数, 且a＞b,而在实际运算中,a, b并无此限制． 数学　七年级　下册 ２８　 0  0 【例２】将边长为a 的大正方形的左上角剪掉一个边长 为b的小正方形(如图①),将剩下部分按照虚线分割 成甲和乙两部分,将甲和乙两部分拼成一个长方形 (如图②),