第一章 4 整式的乘法-【教材解读】2024春七年级下册数学（北师大版)

第一章　整式的乘除 １９　 0  0 ４　整式的乘法 􀅰理解整式的乘法法则,并能借助图形解释整式的乘法法则． 􀅰能利用整式的乘法法则解决有关化简求值问题． 知识点一　单项式乘单项式 １．法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母 的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积 的因式． ２．示例:３x２y３􀅰(－２xy２z６)＝[３×(－２)]􀅰(x２􀅰 x)􀅰(y３􀅰y２)􀅰z６＝－６x３y５z６． ３．推广:单项式与单项式相乘的法则对于三个或三个以 上的单项式相乘同样适用． 【例１】计算: (１)( － ４ ５x ２z３) 􀅰(－１５x３y２); (２)( － １ ３a ２b) ３􀅰(－３ab３)４; (３)(－３an＋２b)３􀅰(－４abn＋３)２; (４)(－５x２)２􀅰 １ ２５xy ２z􀅰(－５xz); (５)(－２x２y)３＋８(２x２)２􀅰 ( － １ ４x ２) 􀅰(－y)３． 解 (１)( － ４ ５x ２z３) 􀅰(－１５x３y２) ＝ ( － ４ ５) × (－１５) é ë ê ê ù û ú ú 􀅰(x２􀅰x３)􀅰y２􀅰z３ ＝１２x５y２z３． @ 单项式乘单项式 的 法 则 可简记为:两相乘,一不变． 诠释:“两 相 乘”是 指 系 数、相同字母的幂分别相乘; “一不变”是指只在一个单项 式里含有的字母连同它的指 数不变． 单项式与单项式 相 乘 的 法则包括系数的运算、同底数 幂的运算和其他不同字母的 相乘运算三个部分:(１)积的 系数等于各个因式系数的积, 通常是先确定符号,再计算其 绝对值;(２)相同字母相乘是 同底数幂的乘法,要按照“底 数不变,指数相加”进行计算; (３)只在一个单项式里含有的 字母,连同它的指数作为积的 一个因式． 数学　七年级　下册 ２０　 0  0 (２)( － １ ３a ２b) ３􀅰(－３ab３)４ ＝－ １ ２７a ６b３􀅰８１a４b１２ ＝－３a１０b１５． (３)(－３an＋２b)３􀅰(－４abn＋３)２ ＝－２７a３n＋６b３􀅰１６a２b２n＋６ ＝(－２７×１６)􀅰(a３n＋６􀅰a２)􀅰(b３􀅰b２n＋６) ＝－４３２a３n＋８b２n＋９． (４)(－５x２)２􀅰 １ ２５xy ２z􀅰(－５xz) ＝２５x４􀅰 １ ２５xy ２z􀅰(－５xz) ＝ ２５× １ ２５× (－５) é ë ê ê ù û ú ú 􀅰(x４􀅰x􀅰x)􀅰y２(z􀅰z) ＝－５x６y２z２． (５)(－２x２y)３＋８(２x２)２􀅰 ( － １ ４x ２) 􀅰(－y)３ ＝－８x６y３＋８×４x４􀅰 ( － １ ４x ２) 􀅰(－y３) ＝－８x６y３＋８x６y３＝０． 知识点二　单项式乘多项式 １．法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项 式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加． ２．公式:m(a＋b＋c＋􀆺)＝ma＋mb＋mc＋􀆺(m,a, b,c都是单项式)． ３．实质:单项式与多项式相乘,实质上是利用乘法对加 法的分配律将它转化为多个单项式与单项式的乘积 再求和的问题． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)单项式与多项式相乘,根据分配律,用单项 式乘多项式的每一项,将其转化为单项式与单项式 相乘,不可漏乘项． (２)非零单项式乘多项式,积的项数与所乘多项式的 项数相等． M  M   M  单项式乘单项式,结果仍 是单项式．   c c b b a a m mm m '+F '+>F .@A 在确定积的每一 项 符 号 时,既要看多项式中对应项的 符号,又要看单项式的符号, 这样才能正确确定积的每一 项的符号． 第一章　整式的乘除 ２１　 0  0 【例２】计算:(１)(５mn２－４m２n)􀅰(－２mn); (２)(a２)３􀅰(a２－２ab＋１); (３)－３xy􀅰 ( １ ４x－ １ ５y) 􀅰 ( － ２ ３xy) ２; (４)２x２y􀅰(３－x４y)－(５x３y)２． 解 (１)(５mn２－４m２n)􀅰(－２mn) ＝５mn２􀅰(－２mn)－４m２n􀅰(－２mn) ＝－１０m２n３＋８m３n２． (２)(a２)３􀅰(a２－２ab＋１) ＝a６􀅰(a２－２ab＋１) ＝a８－２a７b