6.4.3　余弦定理、正弦定理 第二课时　正弦定理(一)-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第二课时　正弦定理(一) 知识点归纳 一、正弦定理的表示 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. ②符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝ ＝ ＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 二、正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝ ； ②sin A＝，sin B＝ ，sin C＝； ③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ④＝＝ ＝＝2R； ⑤asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A. 提示：(1)在正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学中的对称美. (2)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化. 题型演练 题型一　已知两角及任意一边解三角形 例1 在△ABC中，已知a＝2，sin(A＋B)＝，sin A＝，则c＝(　　) A.4 B.3 C. D. 答案　C 解析　由sin(A＋B)＝，得sin C＝， 又a＝2，sin A＝. ∴c＝sin C·＝×＝. 小结　已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形的内角和定理，计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边. 变式1 已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 解　根据正弦定理，得 a＝＝＝10. 又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°， 所以b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋). 题型二　已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则角A＝________. 答案　75° 解析　由＝得sin B＝sin C＝×＝， 由于b＝<c，∴B<C＝60°， 所以B＝45°， 从而A＝180°－(45°＋60°)＝75°. 小结　已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的步骤： (1)求正弦.根据正弦定理求另外一边所对角的正弦. (2)求角.先求另外一边所对角的取值范围(根据大边对大角)，再根据其正弦求角，最后根据三角形的内角和定理求第三个角. (3)求边.根据正弦定理求第三条边. 变式2 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A，C和c. 解　由正弦定理＝，知 sin A＝＝， ∵b<a，∴A＝60°或A＝120°. 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝＝＝； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， ∴c＝＝＝. 故A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝. 题型三　三角形解的个数的判断 例3 (多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　) A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 答案　ABD 解析　A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解； B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C>B，故有两解； C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解； D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b<a，∴角B只有一解. 小结　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画孤，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a＝bsin A 一解 a<bsin A 无解 变式3 不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)b＝72，c＝50，C＝135°. 解　(1)因为sin B＝sin 120°＝×<， 所以三角形有一解. (2)由题意得sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1， 所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°； 当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<18