6.4.3 余弦定理、正弦定理 第一课时余弦定理-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第一课时 余弦定理 知识点归纳 一、余弦定理的表示及其推论 ①文字语言：三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的余弦的 . ②符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝ ，c2＝ . 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 二、解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 提示：(1)余弦定理的适用范围：任意三角形. (2)余弦定理的结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)余弦定理的简单应用：每个等式都涉及三边和一个角、四个元素，在等式中可以做到知三求一. 题型演练 题型一　已知两边及一角解三角形 例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝3，cos C是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c. 小结　1.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 2.已知两边及其夹角解三角形的方法： 首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 变式1 在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形. 题型二　已知三边关系解三角形 例2 在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C. 小结　已知三边关系解三角形 变式2 在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac. (1)求B的大小. (2)求cos A＋cos C的最大值. 题型三　用余弦定理进行边角互化 类型1　利用边角关系求值 例3 在△ABC中，bcos C＋ccos B＝2b，则＝(　　) A. B. C.－ D.2 变式3 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边， (1)若2bcos C－2a＋c＝0，求角B的大小； (2)若a＋c＝5，ac＝4，tan B＝1，求b2. 类型2　判断三角形形状 例4 在△ABC中，若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2＝，则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 小结　1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 2.余弦定理揭示第三边与其余两边及这两边夹角余弦间的关系，灵活进行边角转化，结合三角恒等变换可求三角函数式的值. 变式4 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc. (1)求角A的大小； (2)若sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状. 总结 1.重要思想与方法 (1)应用余弦定理及其推论可以做到“知三求一”，利用余弦定理判断三角形的形状一般思路有两个：一是化边为角，二是化角为边. (2)应用余弦定理解三角形的过程中应用了转化与化归、数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 (1)易忽略三角形中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，两边之和大于第三边等. (2)判断三角形的形状时需对代数式进行恒等变形. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河南郑州·高一郑州中学校考期末）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 3．（2023下·河北邢台·高一统考期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2023下·云南红河·高一校考阶段练习）已知一个三角形的三边分别是a、b、，则此三角形中的最大角为（　　） A． B． C． D． 6．（2023下·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．的三角形 7．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可