六种类型解决与圆有关的题目讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

与圆有关的知识 类型一直线与圆相交的弦长最值 4 类型二 将军饮马的线段最值 7 类型三 点的轨迹 10 类型四 切线的夹角，面积，切线弦方程（较难） 12 类型五 几何意义（难） 21 类型六 阿氏圆的两种表述与应用（难） 25 圆的方程 【知识清单】 1、圆的定义及方程 定义 平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 圆心；半径 一般方程 充要条件： . 圆心： 半径： . （1）圆的参数方程为： ； （2）以，为直径端点的圆的方程为： . 2、点与圆的位置关系 定点，圆，令 （1）点在圆外；即：点在圆外； （2）点在圆上；即：点在圆上； （3）点在圆内；即：点在圆内. 直线与圆 圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 几何法 代数法 相交 相切 相离 （1）直线与半径为的圆相交于，圆心到直线的距离为，则弦长 . （2）设点，圆 若定点在圆上，则过点的圆的切线方程为： . 特别地，若，，则过点的圆的切线方程为： . 若定点在圆外，则过点可以做圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为： . （3）圆系：经过圆与圆的交点的圆的方程可设为 . 2、圆与圆的位置关系 若两圆的半径分别为，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与的关系 代数特征 类型一 直线与圆相交的弦长最值 【典型例题】 1．（2021下·浙江金华·高二校联考期末）已知直线，圆．则直线恒过定点 ，直线被圆C截得的最大弦长为 ． 2．（2019上·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则 ， ． 3．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知直线：被圆：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线有 条. 4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点也在圆上，则直线的斜率为（   ） A．1 B． C． D． 5．(多选)（2021·江苏南通·一模）已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长可能为（    ） A．5 B．6 C． D．7 6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．4 类型二 线段最值 【典型例题】 1．（2019上·山东青岛·高二统考期中）已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于 . 2．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为 ． 3．（2023·全国·模拟预测）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上一点，则的最小值为 ． 类型三 点的轨迹 【典型例题】 1．（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考阶段练习）已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·模拟预测）已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）在平面直角坐标系内，，，动点在直线上，若圆过，，三点，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型四 切线的夹角，面积，切线弦方程 【典型例题】 1．（2021上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知圆：，圆：，在圆上，在圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．直线是圆在点处的切线 C．直线与圆相交 D．直线与圆相切 2．（2021·安徽六安·校联考一模）已知，直线，P为l上的动点，过点Р作的切线PA，PB，切点为A，B，则最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2022上·重庆·高二校联考期末）设圆：与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆О的切线为，对于切线上的点