2024年中考数学压轴题专项练习8字模型

中考数学压轴题专项练习 8字模型 1．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在中，，．在中，，．连接、． （1）如图1，当点、、在一条直线上时，若，且，求的长； （2）如图2，点为的中点，连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当三边为定值时，点、、在一条直线上时，取的中点，连接．当取最小值时，请直接写出的值． 2．（2023•邗江区校级二模）【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为 　　，扫过的面积为 　　． 3．（2023•临县二模）综合与实践 【问题背景】如图1，平行四边形中，，，．点、分别是和边的中点，过点、分别作和的平行线，两线交于点，显然，四边形是平行四边形． 【独立思考】（1）线段和线段的数量关系是：　　； （2）将平行四边形绕点逆时针旋转，当落在边上时，如图2，连接和． ①求的长； ②猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想； 【问题解决】（3）将平行四边形继续绕点逆时针旋转，当，，三点在同一直线上时（如图，与交于点，请直接写出线段的长和的度数． 4．（2023•鄱阳县一模）课本再现 如图1，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系是 　　，与构成的锐角夹角的度数是 　　； 深入探究 （2）将图1中的延长至点，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用） 迁移应用 （3）如图3，在等腰中，，，分别是边，上的点，与相交于点．若，且，求值． 5．（2022秋•天桥区期末）有共同顶点的与中，，，且，连接，，线段，相交于点． （1）如图①，当时，的值是 　　，的度数是 　　； （2）如图②，当时，求的值和的度数，并说明理由； （3）如果，，当点与的顶点重合时，请直接写出的值． 6．（2022秋•江岸区期末）已知是等边三角形． （1）如图1，点是边的中点，点为射线上一动点，当是轴对称图形时，的度数为 　　； （2）如图2，，点在边上，点在射线上，且，作于，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间有什么数量关系，并对结论加以证明； （3）如图3，点在延长线上，连接，为上一点，，连接交于，若，，直接写出线段的值为　　． 7．（2021春•双流区校级期中）在等腰和等腰中，，．将绕点逆时针旋转，连接．点为线段的中点，连接，． （1）如图1，当点旋转到边上时，线段与的数量和位置关系是 　　； （2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，求线段的长． 8．（2021秋•长丰县月考）如图，在和中，，，，连接，，与交于点，与交于点． （1）求证：． （2）若，求的度数． （3）若为上一点，，，且，求证：． 9．（2019秋•高青县期末）如图1，线段、相交于点，连接、． （1）请说明：； （2）的平分线和的平分线相交于点（如图，试探索与、之间的数量关系，并请说明理由； （3）点在上，点在上，与相交于点，且．，其中为大于1的自然数（如图．与、之间又存在着怎样的数量关系？请直接写出你的探索结果，不必说明理由． 10．（2017春•亭湖区校级月考）如图1，已知线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“对顶三角形”．如图2，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）仔细观察，在图2中有　　个以线段为边的“对顶三角形”； （2）在图2中，若，，求的度数． （3）在图2中，若设，，，，试问与、之间存在着怎样的数量关系（用、表示，并说明理由； （4）如图3，则的度数为　　． 11．（2023•雁塔区一模）如图①，在中，，是的中点，为内一点，连接并延长到，使得，连接、． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②连接，探索当与满足什么数量关系时，，并说明理由． 12．（2023春•石狮市校级期中）如图1至图2，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点；为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： （1）如图1，延长交于点，若，． 解决问题： ①　　； ②求证：； 深入探究； （2）如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示　　； 拓展延伸： （3）当点在