2024年中考数学压轴题专项练习三角形的五心综合问题

中考数学压轴题专项练习 三角形的五心综合问题 1．（2023春•洪山区月考）如图，内接于，是的直径，是的内心，连接，，，的延长线交于点，若，，则的长为　　 A． B．3 C． D． 2．（2021秋•绵阳期末）如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点，连接．若，，，．则下列结论中正确的个数有　　 ①；②是等边三角形； ③与互相垂直平分；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2010•鹿城区校级自主招生）如图，已知锐角的外接圆半径等于2，，、分别为的外心和垂心，连接与的延长线交于点，则　　． 4．（2020秋•德清县期末）拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何．他提出了著名的拿破仑定理：以三角形的各边为边分别向外侧作正三角形，则它们的中心构成一个正三角形，如图所示，在中，，，以的三条边为边，向外侧作三个正三角形，顺次连结它们的中心，，，得到“拿破仑”，则“拿破仑”与正的面积之比为 　　． 5．（2020•浙江自主招生）已知点是锐角三角形的内心，、、分别是点关于边，，的对称点，若点在△的外接圆上，则等于 　　． 6．（2011•南充自主招生）如图，在中为垂心，为外心，，且外接圆直径为10，则　　． 7．（2012•杭州模拟）如图，是某工厂车间的一种剩余残料，且，现需要利用这块残料在的外部制作3个等边、、的内切圆、、，若其中最大圆的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约 　　元． 8．（2012秋•温州校级期中）在半径为1的中内接有锐角，是的垂心，角平分线垂直于，则　　． 9．（2020•浙江自主招生）在中，若，，，为垂心，则　　． 10．（2023春•蔡甸区月考）（1）如图，点为等腰直角内一点，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； 变式： （2）如图，点为等腰直角外一点，，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； 拓展： （3）如图，，，以为边作等腰，，直接写出的最大值． 11．（2014•湖南自主招生）如图，，，是的高，，，分别为，，的垂心，求证：． 12．（2022秋•秦淮区期中）【习题再现】 （教材第10题）如图①，是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （1）完成原习题； 【逆向思考】 （2）如图②，为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心． 【迁移运用】 （3）如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 13．（2021秋•朝阳区月考）如图，在锐角中，，的面积为10．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿边向终点运动，当点不与点、重合时，过点作，与的另一边交于点，取的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．设点的运动时间为． （1）边上的高为 　　． （2）当点落在边上时，求的值． （3）当与重叠部分的图形是三角形时，求重叠部分的面积与的函数关系式，并写出的取值范围． （4）当点落在的高线上时，直接写出的值． 14．（2010•合肥校级自主招生）如图，点为的垂心，以为直径的和的外接圆相交于点，延长交于点，求证：点为的中点． 15．（2008•成都校级自主招生）如图，的三边满足关系，、分别为的外心、内心，的外角平分线交于，的延长线交于，交于， 求证：（1）； （2）． 16．已知，点在上，，经、、三点的圆交于（如图）． 求证：为的内心． 17．如图，矩形中，，、分别为、的中点．为上的一点，沿直线对折，点恰好与上的点重合．若、分别为方程的两根． （1）求的外接圆的直径； （2）四边形有内切圆吗？有则求出内切圆的面积，没有请说明理由． 18．，切于，，过与的交点任作的弦．求证： （1）与有公共的内心； （2）与有一个旁心重合． 19．已知、、分别是的外心、重心、垂心，是中线，于，于，求证：、、三点共线，且． 20．如图，的三边长，，，、、都是整数，且、的最大公约数为2．点和点分别为的重心和内心，且．求的周长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．（2023春•洪山区月考）如图，内接于，是的直径，是的内心，连接，，，的延长线交于点，若，，则的长为　　 A． B．3 C． D． 【解答】解：过点作于点，延长交于点，连接，，，，如图， 是的直径， ， 是的内心， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是的内心， ， ， ，即， ， 在中，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ． 故选：． 2．（2021秋•绵阳期末）如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，