2024年中考数学压轴题专项练习 三角形的内心与内切圆

中考数学压轴题专项练习 三角形的内心与内切圆 1．（2023•镇海区校级模拟）如图，是等腰的外接圆，为弧 上一点，为的内心，过作，垂足为，若，则的值为　　 A．4 B． C．2 D． 2．（2021•武进区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是　　 A． B． C． D． 3．（2012•南京模拟）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰△的直角边上，面积记为；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为则下列判断正确的是　　 ①；②；③在，，，中，最小． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（2023春•萨尔图区校级月考）四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点为的内心，连接，，当点从点运动到点时，则内心所经过的路径长为 　　． 5．（2023•霍林郭勒市二模）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若直角三角形的内切圆半径为1，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为 　　． 6．（2022•南京自主招生）如图，在中，，，，，为内心，则　　． 7．（2023•海安市模拟）如图，中，，，，为的内心，若、分别是斜边和直角边上的动点，连接、，则的最小值为 　　． 8．（2023•河北模拟）如图，三条笔直的小路，，相交围成一个三角形公园，在的内心处修建了一个凉亭，过凉亭的小路，并分别与的两边，相交于点，，，小路与之间相距，如果从凉亭分别向，，修建一条石板路，那么这三条石板路的长度之和最小为　　，若游客从处出发，沿的路线，到达处，那么所走的这段路程长为　　． 9．（2023•中宁县二模）如图，点是的内心，连接、，若，则　　． 10．（2023春•承德县月考）如图，在中，，，点为的内心，于点，连接． （1）　　； （2）　　． 11．（2022秋•海港区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 　 　cm2．（结果用含π的式子表示）利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 　 　cm． 12．（2022•盐池县模拟）如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线上时，等边三角形的内心运动过的路程长为 　　． 13．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在中，，，，点为的内心，连接，，过点作交于点，则的长为　　． 14．（2022春•静安区校级期中）如图，线段两点的坐标分别为、，在轴的下方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　　． 15．（2022•沭阳县校级模拟）一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是　　． 16．（2009•杭州）如图，为半圆的直径，是半圆弧上一点，正方形的一边在直径上，另一边过的内切圆圆心，且点在半圆弧上． ①若正方形的顶点也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是　　； ②若正方形的面积为100，且的内切圆半径，则半圆的直径　　． 17．（2014•香洲区校级模拟）如图所示，在矩形中，，的内切圆半径为2，切三边于、、，则矩形两边　　，　　． 18．（2008•乐山）如图，在直角坐标系中，一直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，且，则的内切圆的半径　　；若与，，轴分别相切，与，，轴分别相切，，按此规律，则的半径　　． 19．（2022•越秀区一模）如图，在等边中，，点为边的中点，点为边上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，射线与边相交于点（点与点不重合），连接，． （1）求证：； （2）点在边上运动的过程中，的周长是否会发生变化？若不变，求的周长；若变化，请说明理由； （3）设的面积为，的面积为，若，求的内切圆半径． 20．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：记中的对边的长为，的对边的长为，的对边的长为，若，且，则称为“等差三角形”．例如：中三边长分别为，，，则满足，则为“等差三角形”． （1）若为“等差三角形”， ，，则　　． （2）若为“等差三角形”，且，求的值． （3）如图，在中，点为各边中线的交点，点为的内心，连接，交于点，连接，交于点； ①证明； ②当时，证明：为“等差三角形”． 21．（2022•建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点和点，与轴交于点、（点在点的左边），且点与点关于坐标原点对称． （1）求该二次函数解析式