15.3 分式方程讲义　2023—2024学年人教版数学八年级上册

分式方程 探究点一： 分式方程的概念 例1：下列关于x的方程，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【练习】 1.下列式子不属于分式方程的是（ ） A. B. C. D. 探究点二：分式方程的解法 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 【类型一】解分式方程 例2：解方程： (1)=； (2)=－3． 【练习】 1.解分式方程，去分母后所得的方程是（ ） A B C D 2.解方程： （1） （2）－＝1 （3） －－＝4 （4） 【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围 例3：关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是______________. 【方法总结】. 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【练习】 1.若关于x的方程有正数解，则( )． A.m＞0且m≠3 B.m＜6且m≠3 C.m＜0 D.m＞6 探究点三：分式方程的增根 【类型一】求分式方程的增根 例4：若方程有增根，则增根可能为（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．1 【方法总结】增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解. 【类型二】分式方程有增根，求字母的值 例5：如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A． －3 B．－2 C．－1 D．3 【方法总结】增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【类型三】分式方程无解，求字母的值 例6：若关于x的分式方程无解，求m的值． 方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的。分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数。 【练习】 1.下列说法中错误的是（ ） A 分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 B 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 C 检验是解分式方程必不可少的步骤 D 能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解． 2.若关于的方程有增根，则的值是（ ） A 3 B 2 C 1 D 3.关于的方程的解为，则的值为（ ） A 1 B 3 C D 4.若关于的方程无解，则的值为_______ 5.若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值． 6.若关于x的方程无解，求k的值． 探究点四：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】 （工程问题） 例1.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同． (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米? (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来． 变式1：某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目，公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元，乙