专题6.17 余角、补角、对顶角（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.17 余角、补角、对顶角（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点提醒： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个 锐角的补角比它的余角大90°。 【知识点二】邻补角与对顶角 1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 要点提醒： (1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线. 2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 要点提醒： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 3. 邻补角与对顶角对比： 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对 顶 角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶 角相 等. ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. ①有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻 补 角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边. 邻补 角互 补. 【考点目录】 【考点一】余角与补角的概念的理解； 【考点二】邻补角与对顶角的概念的理解； 【考点三】余角与补角的有关计算； 【考点四】余角与补角的性质； 【考点五】对顶角与邻补角的有关计算； 【考点六】余角、补角、邻补角、对顶角综合. 【考点一】余角与补角的概念的理解； 【例1】（2023下·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．   （1）与互余的角是___________，互补的角是___________； （2）若，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据得到，可得余角，再根据，可得补角； （2）首先求出，再根据角平分线的定义求出，即可得解． （1）解：∵， ∴， ∴与互余的角是； ∵， ∴与互补的角是． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键． 【变式1】（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，已知，，则下列说法错误的是（） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角，根据互余的定义进行判断． 解：∵， ， ∴与互为余角，与互为余角． ∵， ， ∴与互为余角，与互为余角； 故选：D． 【变式2】（2023上·河北唐山·七年级统考期中）的角的余角等于 ．的角的补角等于 ． ． 【答案】 /171度 【分析】本题考查了余角、补角和角度单位之间的进率，“若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和为，则这两个角互补；，”．根据定义求解即可． 解：的角的余角， 的角的补角， ， 故答案为：、、． 【考点二】邻补角与对顶角的概念的理解； 【例2】（2023下·河南商丘·七年级校联考阶段练习）如图，直线和直线相交于点平分．   （1）图中的对顶角是__________，邻补角是__________和__________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；，；（2） 【分析】（1）根据对顶角与邻补角的含义可得答案； （2）先求解，结合角平分线可得，再利用邻补角的含义可得答案． （1）解：图中的对顶角是，邻补角是和； 故答案为：；， （2）， ∴， 又平分 ， ． 【点拨】本题考查的是角的和差运算，对顶角的含义，邻