专题5.23 一元一次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.23 一元一次方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 【知识点2】一元一次方程的标准形式 ax+b=0 (x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。 【知识点3】构成一元一次方程的条件 (1)它是等式; (2)分母中不含有未知数; (3)未知数最高次项为1; (4)含未知数的项的系数不为0. 【知识点4】等式的性质 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。 等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。 等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。 解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。 【知识点5】一元一次方程解法的一般步骤： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 一般解法： (1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数; (2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号) (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号 (4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式; (5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a. 【知识点6】同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 【知识点7】方程的同解原理： (1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。 (2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。 【知识点8】列一元一次方程解应用题： (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中 相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础 【知识点9】解一元一次方程应用题的方法： (1)认真审题 (审题) (2)分析已知和未知量 (3)找一个合适的等量关系 (4)设一个恰当的未知数 (5)列出合理的方程(列式) (6)解出方程(解题) (7)检验 (8)写出答案(作答) 一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。 【考点一】一元一次方程的相关概念 【例1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知是关于y的一元一次方程． （1）求a，b的值； （2）若是方程的解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知、， 从而求出、的值； （2）将的值代入所给方程中求出的值， 再将、、的值代入待求式求解． （1）解：由题意得：0 ， 解得． （2）将代入， 得 解得， 所以． 【点拨】本题主要考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）若方程是一元一次方程，则k的值等于（    ） A．±2 B．2 C．-2 D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义即可求解. 解：依题意得k-2≠0， 解得k=-2 故选C. 【点拨】此题主要考查一元一次方程的定义，解题的关键是熟知一元一次方程的特点. 【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级统考开学考试）已知代数式的值等于，则 的值为 ． 【答案】5 【分析】由代数式的值等于可得，再将原代数式适当变形代入求值即可． 解：因为代数式的值等于， 所以， 所以， 故答案为：5． 【点拨】本题考查代数式求值，添括号．能对代数式适当变形，添括号是解题关键． 【考点二】等式基本性质 【例2】（2020上·六年级校考课时练习）能否从等式得到，为什么？反过来，能否从得到，为什么？ 【分析】根据等式的性质解答即可． 解：不能从等式（2a-1）x=3a+5中得到理由是：2a-1=0时，无意义； 能从中得到（2a-1）x=3a+5，理由是：方程得两边都乘以（2a-1）． 【点拨】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的整式，结果仍是等式． 【举一反三】 【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列变形