6.3.2离散型随机变量的方差 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2 离散型随机变量的方差 1. 期望的概念 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 2. 期望的意义 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平. 3. 期望的计算公式 E(aX+b)=aE(X)+b 知识回顾 通过实例，理解离散型随机变量的方差的概念，达到数学抽象核心素养水平一的层次； 会计算简单的离散型随机变量的方差，达到数学运算核心素养水平二的层次； 3.能利用随机变量的数字特征解决一些实际问题,达到逻辑推理和数学建模核心素养水平二的层次； 环节一 离散型随机变量的方差 思考1：要从甲、乙两名射击运动员中选一人参加比赛 , 根据以往数据，这两名运动员射击环数的分布列分别如下.你会决定谁去？ 不难算出E(X1)=E(X2)=9，从均值的角度判断不出来谁参加 甲的环数X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的环数X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 追问1：怎样来衡量他们的发挥稳定性呢？ 1、离散型随机变量的方差 方差 追问2：初中我们是如何求方差的？ 思考2：怎么根据分布列计算方差呢？分布列揭示的是什么意思呢？ 甲的环数X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 1、离散型随机变量的方差 设甲重复射击足够多次（设为n次)，则甲所得环数可估计为 追问1：你发现了这个式子与分布列有什么关系？ 1、离散型随机变量的方差 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. 因为X的均值为E(X)，所以 能够刻画 X 相对于均值的离散程度（或波动大小），这称为离散型随机变量 X 的方差，也可用DX 表示 一般地， 称为离散型随机变量 X 的标准差 乙这组数的方差为 由于0.4<0.8，因此可以认为甲的发挥更稳定， 从这一角度来说，应该派甲参加全运会. 1、离散型随机变量的方差 思考3：那你现在能求出乙的方差吗？ 乙的环数X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 思考4：初中的方差可以怎么化简呢？ 1、离散型随机变量的方差 思考5：仿照初中方差的化简结果，你认为分布列还可以怎样求方差？ 1、离散型随机变量的方差 因为X的均值为E(X)，所以DX=E（X2）-(EX)2 思考6：根据上述公式，要求方差首先要求出什么？ 首先要求X的分布列，并写出X2的分布列，并求出这两个分布列的均值 思考4：已知随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布，求D( X ). 因为X只能取1，0这两个值，而且P(x=1)=p，E(X)=p，所以 1、离散型随机变量的方差 思考5：若Y=ax+b，那我们能根据DX求出D（ax+b）吗？ 例1.已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若Eξ＝，则Dξ＝（　B　） A. B. C. D. 解析：由分布列的性质得x＋y＝0.5，又Eξ＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以Dξ＝×＋×＋×＝. B 1、离散型随机变量的方差 例2.设随机变量X的方差DX＝1，求D（2X＋1）的值 解析：D（2X＋1）＝4DX＝4×1＝4. 1、离散型随机变量的方差 例3.（多选）已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a 则下列式子正确的是（　ABD　） A.a＝ B.EX＝－ C.DX＝ D.P（X≥0）＝ ABD 例4：设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则DX等于（　C　） A. B. C. D. 解析：由题意知，EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝， 故DX＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＋（4－）2×＝. C 1、离散型随机变量的方差 例5：在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（　B　） A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1 C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2 B 解析：X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的均值EX＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差DX＝（1－EX）2×p1＋（2－EX）2×p2＋（3－EX）2×p3＋（4－EX）2×p4，标准差为.A选项的方差DX＝0.65； B选项的方差DX＝1.85；C选项的方差DX＝1.05；D选项的方差DX＝1.45. 所以选项B的情形对应样本的标准差最大. 1、离散型随机变量的方差 例6：已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P （1）求η的方差； 解析　（1）∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16， ∴D