2024年重庆市中考数学专题复习：最值问题

专题：几何最值 一、瓜豆原理 【知识准备】 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量.（定角定比，瓜豆原理） 条件：一定两动，两不变 结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； 两不变：1、两动点与定点的夹角 ②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角； 2、两动点与定点距离的比值不变 ③当主、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于 作法：找动点轨迹 主动点的运动路径长； 两点法找主动点，特殊点找主动点 ④当主、从动点到定点的距离不相等时， 所在直线的端点/中点 补充：点，直线，则点到直线的距离： 【精讲精练1】 1．如图，长方形中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为 。 2．如图，正方形的边长为，为上一点，且为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 。 【精讲精练2】 3．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接。若，则的最小值为 。 4．如图，在边长为的正方形内有一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段。连接，则的最小值为 。 【精讲精练3】 5．点为边长为的正方形内一点，是等边三角形，点为中点，是线段上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为 。 6．如图，在正方形中，，点是平面内一动点，且，连接，点是线段上靠近点的三等分点，连接，则的取值范围为 。 7．如图，在正方形中，，点是平面内一动点，，连接，将绕着点顺时针旋转，连接，则的取值范围内 。 8．如图，在菱形中，，点是平面内一动点，且，连接，将绕着点逆时针旋转至，连接，则的取值范围为 。 9．如图，和都是等腰直角三角形，是中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 。 10．如图，边长为的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是 。 11．如图，在正方形中，，点是⊙上的一动点，半径为，连接，点是线段的中点，连接，则的取值范围为 。 二、点点最值 （1）将军饮马系列 例1：（翻折）如图，正方形的边长是在上，且是边上的一动点，则周长的最小值为 。 练习1：如图，中，，点是内一点，且，点分别是边上的动点，则周长的最小值为 。 例2：（翻折+平移）如图，在矩形中，，点是边上的中点，是边上的动点（点在点的左侧），且，则的最小值为 。 练习2：如图，在矩形中，，点，与关于直线对称，点与点关于直线对称，分别是边上的动点，且，则的最小值为 。 例3：（两动一定）如图，在边长为的正方形中，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为 。 练习3：如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为 。 （2）阿氏圆 例4：如图，已知，，，半径为的⊙上有一动点，求的最小值 。 练习4：如图，已知，，，半径为的⊙上有一动点，求的最小值 。 （3）费马点 例5：如图，在直角中，，且，点为内一点，连接、，则的最小值为 。 练习5：问题背景：如图①，将绕点逆时针旋转，得到，与交于点，则可推出结论。 问题解决：如图②，在中，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值为 。 二、点线最值 （4）胡不归 例6：如图，在平面直角坐标系中，，，，为射线上一点，一动点从出发，运动路径为，点在上的运动速度是在上的倍，且为定值，要使整个过程的运动时间最少，则点的坐标为 。 练习6：如图，在中，，，于点是线段上一个动点，则的最小值为 。 （5）定边定角 例7：如图，在中，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为