6.1 平方根 、立方根-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

第６章　实　数 ６．１　平方根、立方根 １．　平方根 知识点一　平方根 平方根的概念 平方根的表示 表示方法 非负数a 的平方根记作“± a”,读作“正、负根 号a”,其中a 叫做被开方数 示例 ９的平方根记作± ９,读作“正、负根号９”,其中９ 是被开方数,显然± ９＝±３ 平方根的性质 性质 一个正数a 的平方根有两个,它们互为相反数 ０的平方根是０ 负数没有平方根 ì î í ï ï ï ï 【例１】判断下列各数是否有平方根,如果有,求出它的平 方根;如果没有,说明理由． (１)１２１;　　(２) １ ２５ ;　　(３)－０．１６;　　(４)１３; (５)０．００６４;(６)０; (７)１ ７ ９． (１)要判断数a 是否有平方 根,只要看是否有一个数的 平方等于a 就可以． (２)要检验数x 是否为a 的 平方 根,只 要 看 x２ 是 否 等 于a 就可以． (３)只 有 非 负 数 才 有 平 方 根,负数没有平方根． １ 对于 任 意 一 个 正 数,它 的 平方 根 有 两 个,且 互 为 相 反数．在解答有关正数的平 方根 问 题 时,不 能 漏 掉 其 中任何一个． (１)求 一 个 数 的 算 术 平 方 根和求一个数的平方根的 方法 一 样,但 要 注 意 算 术 平方根是非负数． (２)对于带分数,要先化成 假分 数,再 求 它 的 算 术 平 方根． 解:(１)１２１有平方根,因为(±１１)２＝１２１,所以１２１的平 方根是±１１． (２) １ ２５ 有平方根,因为 (± １ ５) ２ ＝ １ ２５ ,所以１ ２５ 的平方根是 ± １ ５． (３)因为－０．１６＜０,所以它没有平方根． (４)１３有平方根,１３的平方根是± １３． (５)０．００６４有平方根,因为(±０．０８)２＝０．００６４, 所以０．００６４的平方根是±０．０８． (６)０有平方根,０的平方根是０． (７)１ ７ ９ 有平方根,因为１ ７ ９＝ １６ ９ ,(± ４ ３ ) ２ ＝ １６ ９ ,所以 １ ７ ９ 的平方根是± ４ ３． (１)根据平方根的概念,可以利用平方运算来寻找或 检验一个数的平方根． (２)对于开方开不尽的数,直接用“± 　”来表示其平 方根即可． (３)求带分数的平方根时,要先把带分数化为假分数, 再求平方根． 知识点二　算术平方根 算术平方根的概念与表示 ２ 算术平方根的性质 性质 正数的算术平方根只有一个 ０的算术平方根是０ 负数没有算术平方根 ì î í ï ï ï ï 算术平方根与平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区 别 概念 不同 正数a 的正的平方 根叫做a 的算术平 方根 一般地,如果一个数的平方 等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做二次方根 个数 不同 一个正数的算术平 方根只有一个 一个正数有两个平方根,它 们互为相反数 表示方 法不同 非负数a 的算术平 方根表示为a 非负数a 的平方根表示为 ± a 取值范 围不同 正数的算术平方根 一定是正数 正数的平方根一正一负 联 系 具有包 含关系 正数的平方根包含它的算术平方根,即正数的 算术平方根是它的平方根中正的那一个 存在条 件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根,０的平方 根与算术平方根都是０ 【例２】求下列各数的算术平方根． (１)１６;　(２) １ ３６ ;　(３)０;　(４)１．４４;　(５)２ １ ４． 解:(１)因为４２＝１６,所以１６的算术平方根是４,即 １６＝４． (２)因为 ( １ ６) ２ ＝ １ ３６ ,所以１ ３６ 的算术平方根是１ ６ ,即 １ ３６＝ １ ６． (３)０的算术平方根是０,即 ０＝０． (４)因为１．２２＝１．４４,所以１．４４的算术平方根是１．２,即 １．４４＝１．２． (５)因为２ １ ４＝ ９ ４ ,( ３ ２) ２ ＝ ９ ４ ,所以２ １ ４ 的算术平方根是 ３ ２ ,即 ２ １ ４＝ ３ ２．  当被开方数大于０且小于１ 时,它的算术平方根比它本 身大;当 被 开 方 数 大 于 １ 时,它的算术平方根比它本 身小,列表如下: 被开方数 算术平方根的 取值(范围) ０＜a＜１ ０＜a＜ a＜１ a＞１ a＞ a＞１ a＝０或a＝１ a＝a ３ (１)开 平 方 和 加、减、乘、 除、乘 方 一 样,是 一 种 运 算,它 是 求 一 个 数 的 平 方 根的过程． (２)开 平 方 和 平 方 是 互 逆 运算,可 以 利 用 平 方 运 算 检验开平方运算的结果是 否正确． (３)任 何 一 个 非 负 数 都 可 以 开 平 方,负 数 不 能 开 平方． (１)要 按 照 要 求 使 用 计 算 器,当 求 一 个 正 数 的 负 的 平方 根 时,