10.3 平行线的性质-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

１０．３　平行线的性质 知识点　平行线的性质 性质 符号语言 图示 性质１: 两直线平行,同位 角相等 因为AB∥CD, 所以∠１＝∠５,∠２＝∠６, ∠３＝∠７,∠４＝∠８ 性质２: 两直线平行,内错 角相等 因为AB∥CD, 所以∠３＝∠５,∠４＝∠６ 性质３: 两直线平行,同旁 内角互补 因为AB∥CD, 所以∠３＋∠６＝１８０°, ∠４＋∠５＝１８０° 图１０．３Ｇ１ 【例１】如图１０．３Ｇ１所示,AB∥CD, 直线EF 分别交AB,CD 于点E, F,EG 平分∠BEF．若∠１＝７０°, 则∠２＝　　　　,∠３＝　　　, ∠４＝　　　　． 解析:因为AB∥CD,∠１＝７０°, 所以∠２＝∠１＝７０°,(两直线平行,内错角相等) ∠３＝∠１＝７０°,(两直线平行,同位角相等) ∠１＋∠BEF＝１８０°．(两直线平行,同旁内角互补) 因为EG 平分∠BEF,所以∠BEG＝ １ ２∠BEF＝ １ ２× (１８０°－７０°)＝５５°．因为AB∥CD,所以∠４＝∠BEG＝ ５５°．(两直线平行,内错角相等) 答案:７０°　７０°　５５° 【例２】如图１０．３Ｇ２,若∠１＝∠２,∠３＝３０°,则∠４的度 数是 (　　) A．１２０°　　　B．１３０°　　　C．１４５°　　　D．１５０° (１)平行线的性质存在的前 提条 件 是 两 条 平 行 线 被 第 三条直线所截． (２)“两直线平行,同位角相 等”和“两直线平行,内错角 相等”提供了两种证明角相 等的思路． 只有在两条直线平行的前 提下,才有同位角相等、内 错角相等和同旁内角互补． １１２ 平行线的性质与判定的关系 在平 行 线 的 性 质 与 判 定 中,条件与结论恰好互换: 从角 的 数 量 关 系(角 相 等 或互 补)得 到 两 直 线 的 平 行 关 系 是 平 行 线 的 判 定; 从平行线得到角的数量关 系(角相等或互补)是平行 线的性质．也就是说,角的 数量关系 判定 性质 􀜩􀜨􀜑 两直线平行． 图１０．３Ｇ２ 　　　 图１０．３Ｇ３ 解析:如图１０．３Ｇ３,因为∠１＝∠２, 所以a∥b．(同位角相等,两直线平行) 所以∠５＝∠３＝３０°．(两直线平行,同位角相等) 所以∠４＝１８０°－∠５＝１８０°－３０°＝１５０°．故选D． 答案:D １．(江苏连云港中考)如图 １０．３Ｇ５,直 线 AB∥CD, BC 平分∠ABD,若∠１＝ ５４°,则∠２＝　　　　． 图１０．３Ｇ５ ２．(甘 肃 白 银 中 考)如 图 １０．３Ｇ７,AB∥CD,DE⊥ CE,若 ∠１ ＝ ３４°,则 ∠DCE 的度数是 (　　) 题型一　平行线性质的简单应用 平行线与角平分线的综合题 图１０．３Ｇ４ 【例１】(甘肃天水中考)如图１０．３Ｇ４,直 线AB∥CD,OG 是∠EOB 的平分 线,∠EFD＝７０°,则∠BOG 的度数是 (　　) A．７０°　　　　B．２０°　　　　C．３５°　　　　D．４０° 审题关键:要求∠BOG 的度数,根据角平分线的概念, 只需要求出∠EOB 的度数,从而转化为利用平行线 的性质求角度的问题． 解析:因为AB∥CD,所以∠EOB＝∠EFD＝７０°． 又因为OG 平分∠EOB,所以∠BOG＝ １ ２∠EOB＝ １ ２×７０°＝３５°． 答案:C
平行线与三角尺(或垂线)的综合题 【例２】(广东深圳中考)如图１０．３Ｇ６,已知a∥b,直角三 角尺的直角顶点在直线b上,若∠１＝６０°,则下列结论 错误的是 (　　) ２１２ 图１０．３Ｇ６ A．∠２＝６０°　　　　　　　B．∠３＝６０° C．∠４＝１２０° D．∠５＝４０° 审题关键:本题是平行线与三角尺的综合题,题中把 三角尺的一边抽象成平行线的截线,需结合平行线 的性质和三角尺中的特殊角去分析和解决问题． 解析:因为∠１与∠２是对顶角,所以∠２＝∠１＝６０°, 故选项A不合题意;因为a∥b,所以∠３＝∠１＝ ６０°,故选项B不合题意;因为∠３与∠４是邻补角, ∠３＝６０°,所以∠４＝１２０°,故选项C不合题意;因为 ∠３＋∠５＝９０°,∠３＝６０°,所以∠５＝３０°,故选项D 符合题意．故选D． 答案:D 利用平行线的性质解决折叠问题 【例３】如图１０．３Ｇ８,折叠一张长方形纸片,已知∠１＝ ７０°,则∠２的度数是 ． 图１０．３Ｇ８ 　　 图１０．３Ｇ９ 审题关键:解题的关键是由折叠得到相等的角,结合 平行线的性质来解题． 解析:如图１０．３Ｇ９所示． 由平行线的性质,得∠３＝∠１＝７０°． 因此,∠２＋∠４＝１８０°－∠３＝１１０°． 又由折叠,知∠２＝∠４,❶ 所以∠２＝５５°． 答案:５５° 图１０．３Ｇ７ A．３４°　　　B．５４° C．６６° D．５６° ３．如图１０．３Ｇ