10.1 相交线-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

第１０章　相交线、平行线与平移 １０．１　相交线 (１)对顶角是成对出现的, 是具有特殊位置关系的两 个角,但 一 个 角 的 对 顶 角 只有一个． (２)两条直线相交所构成的 ４个角中,有两对对顶角．  邻补角的概念 如图１０．１Ｇ１,∠１和∠２有 公共顶 点 O,有 公 共 的 一 边OC,只有一条边互为反 向延 长 线,这 样 的 两 个 角 叫做 邻 补 角,它 们 的 度 数 和是１８０°． 图１０．１Ｇ１ 知识点一　对顶角的概念及性质 概念 文字语言 图示 性质 有 公 共 顶 点, 并且两边分别 互为反向延长 线的两个角叫 做对顶角 如图,直线AB 与CD 相交于点O,∠１ 和∠３有公共顶点O,并且它们的两边 分别互为反向延长线,则∠１和∠３是 对顶角．同理,∠２和∠４也是对顶角 对顶角 相等 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　注意:对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角． 【例１】下列各选项中,∠１和∠２是对顶角的是 (　　) 　　　 A 　　　　　　 B 　　　 C D 解析:选项A中两角不是由两条相交直线形成的角,故不 是对顶角;选项B中两角有公共顶点,它们的两边也分 别互为反向延长线,故是对顶角;选项C中两角没有公 共顶点,故不是对顶角;选项D中两角没有公共顶点, 它们的两边也不分别互为反向延长线,故不是对顶角． 答案:B ２８１ “三点”确定对顶角 寻找对顶角时,要看两角是否满足三个条件:一 是由两条相交直线形成,二是有公共顶点,三是两个 角的两边分别互为反向延长线．若三个条件均满足,则 这两个角是对顶角,否则不是对顶角． 图１０．１Ｇ２ 【例２】如图１０．１Ｇ２所示,直线AB,CD 相交于点O,且∠AOD＋∠BOC＝ １００°,则∠AOC＝ (　　) A．１５０°　　　　　　　　　B．１３０° C．１００° D．９０° 解析:因为∠AOD 与∠BOC 是对顶角, 所以∠AOD＝∠BOC． 因为∠AOD＋∠BOC＝１００°,所以∠AOD＝５０°． 因为∠AOD 与∠AOC 互为邻补角, 所以∠AOC＝１８０°－∠AOD＝１８０°－５０°＝１３０°．故 选B． 答案:B 知识点二　垂线的概念及画法 垂线的概念 概念 表示方法 使用格式 在两条直线相交 所成 的 ４ 个 角 中,如果有一个 角是直角,就说 这两条直线互相 垂直,其中一条 直线叫做另一条 直线的垂线,它 们 的 交 点 叫 做 垂足 如图,直线 AB,CD 互 相 垂 直,记 作 “AB⊥CD”,读 作 “AB 垂 直 于CD”, 垂足为点O (１)因为∠BOC＝ ９０°(已 知),所 以 AB⊥CD(垂直的 概念)． (２)因为 AB⊥CD (已 知 ), 所 以 ∠AOC＝∠BOC＝ ∠BOD＝∠AOD＝ ９０°(垂直的概念) 对顶 角 往 往 隐 含 在 已 知 图 形中,所以要理解对顶角的 概念,注意挖掘图形的隐含 条件． (１)垂直是两条直线相交的 特殊情形,是两条直线的一 种位置关系． (２)垂线的定义具有判定和 性质的双重作用,即已知两 直线的夹角为直角,可判定 两直 线 垂 直;反 之,由 两 直 线垂直,可以得到两直线的 夹角为９０°． ３８１ (１)在画垂线时,要标记垂 直符号“”． (２)过 一 点 画 射 线 或 线 段 的垂 线,是 指 画 它 们 所 在 的直 线 的 垂 线,垂 足 可 能 在 射 线 的 反 向 延 长 线 上, 也可 能 在 线 段 的 延 长 线 上,如图１０．１Ｇ４． 图１０．１Ｇ４ 垂线的画法———落、移、画 落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上,使 其与已知直线重合 ↓ 移 沿直线移动三角尺,使其另一条直角边经过 已知点 ↓ 画 沿过已知点的直角边画直线,这条直线就是 已知直线的过已知点的垂线,如图１０．１Ｇ３ 所示 图１０．１Ｇ３ 图１０．１Ｇ５ 【例３】如图１０．１Ｇ５,已知∠１＝５３°, ∠２＝３７°,则CD 与CE 的位置关系 是　　　　． 解析:因为∠DCE＋∠１＋∠２＝１８０°, ∠１＝５３°,∠２＝３７°,所以∠DCE＝１８０°－∠１－∠２＝ １８０°－５３°－３７°＝９０°,所以CD⊥CE． 答案:CD⊥CE 【例４】如图１０．１Ｇ６①,过点P 分别画OA,OB 的垂线; 如图１０．１Ｇ６②,过点A