9.3 分式方程-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

９．３　分式方程 知识点一　分式方程 满足分式方程的三个条件 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　注意: 分式方程和整式方程的区别与联系 (１)区别:分式方程和整式方程的根本区别在于分母 中是否含有未知数．分母中含有未知数的方程是分 式方程,分母中不含未知数的方程是整式方程． (２)联系:分式方程可以转化为整式方程． 【例１】下列方程① ２ x＋１＋ ３ x－１＝ ６ x２－１ ;② x－b a ＝２－ x－a b ;③ x－１ ２ － y＋２ ３ ＝ １ ４ ;④ x x－３＝２＋ ３ x－３ ;⑤ x π＋ ５＝x;⑥ １ ２x－１ 中,是关于x 的分式方程有 (　　) A．１个　　　B．２个　　　C．３个　　　D．４个 解析:②中的方程分母中不含表示未知数的字母x,故 不是关于x 的分式方程;③⑤中的方程分母中不含未 知数,故不是关于x 的分式方程;⑥不是方程,更不是 关于x 的分式方程;①④中的方程分母中含有未知数 x,所以是关于x 的分式方程．故选B． 答案:B 判断一个方程是否为分式方程,关键是看分母中 是否含有未知数(也可以看方程中是否含有关于未知 数的分式),而不是看分母中是否含有字母． (１)识 别 方 程 时,不 能 对 方 程进 行 约 分、通 分 变 形,更 不能 运 用 等 式 的 基 本 性 质 进行变形． (２)只要分母中含有未知数 (不是字母系数),无论含有 几个未知数,无论未知数的 次数是多少,这样的方程都 是分式方程． １６１ (１)解 分 式 方 程 的 关 键 是 去分 母,将 分 式 方 程 转 化 为整式方程． (２)分式方程去分母时,一 定不能漏乘不含分母的项． (３)解 出 未 知 数 的 值 后 必 须检验． 知识点二　分式方程的解法 解分式方程的基本思路 分式方程 去分母 →整式方程 解分式方程的一般步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 示例:解方程: ３ x－１－ x＋３ x２－１＝０． 解:方程两边同乘以(x－１)(x＋ １), 得３x＋３－x－３＝０, 解得x＝０． 检验:把x＝０代入(x－１)(x＋ １), 得(x－１)(x＋１)＝－１≠０． 所以原方程的解为x＝０． 增根的概念 若一个根是原分式方程两边同乘以最简公分母变形后 的整式方程的根,但不是原分式方程的根,像这样的 根,称为增根． 【例２】解下列方程: (１) １ x－２－１＝ １ ２－x ;　(２) ３ x－１－ x＋２ x(x－１)＝０． 解:(１)方程两边同乘以x－２,得１－(x－２)＝－１,解得 x＝４． 检验:把x＝４代入x－２,得x－２＝４－２＝２≠０． 因此,x＝４是原方程的解． (２)方程两边同乘以x(x－１),得３x－(x＋２)＝０,解 得x＝１． 检验:把x＝１代入x(x－１),得x(x－１)＝１×(１－ １)＝０． 所以x＝１不是原方程的根,是增根． 因此,原方程无解． ２６１ 解分式方程的三个避免 (１)避免漏乘:去分母时,不要漏乘没有分母的项． (２)避免漏添括号:当分式的分子是多项式时,去分母 后一般要将其括起来． (３)避免漏检验:由于去分母会使未知数的取值范围发 生变化,可能产生增根,故解分式方程时一定要检验． 知识点三　列分式方程解应用题 【例３】(吉林长春中考)A,B两种型号的机器加工同一 种零件,已知A型机器比B型机器每小时多加工２０ 个零件,A型机器加工４００个零件所用时间与B型机 器加工３００个零件所用时间相同,求A型机器每小时 加工零件的个数． 分析:等量关系为４００÷A 型 机器每小时加工零件的个数＝ ３００÷B型机器每小时加工零 件的个数． 解:设 A型机器每小时加工零 件x 个,则B型机器每小时加 工零件(x－２０)个． 根据 题 意 列 方 程,得４００ x ＝ ３００ x－２０ , 解得x＝８０． 经检验,x＝８０是原分式方程 的解,且符合实际意义． 答:A型机器每小时加工零件 ８０个． 增根产生的原因 增根 是 在 解 分 式 方 程 的 第 一步“去分母”时产生的．去 分母时,方程两边都乘