8.4 因式分解&8.5 综合与实践 纳米材料的奇异特性-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

８．４　因式分解 ８．５　综合与实践　纳米材料的奇异特性 知识点一　因式分解 因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分 解,也叫做把这个多项式分解因式． 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形,二者之间的关系 如下: 【例１】下 列 从 左 到 右 的 变 形 中,是 因 式 分 解 的 有 　　　　． ①２４x２y＝４x􀅰６xy;②(x＋５)(x－５)＝x２－２５; ③x２＋２x－３＝(x＋３)(x－１);④９x２－６x＋１＝ ３x(３x－２)＋１;⑤x２＋１＝x(x＋ １ x ) ． 解析:①中２４x２y 是单项式,故①不是因式分解;②中变 形是整式乘法,故②不是因式分解;③中符合因式分 解的概念,故③是因式分解;④中等式右边不是乘积 形式,故④不是因式分解;⑤中x＋ １ x 不是整式,故⑤ 不是因式分解． 答案:③ (１)因 式 分 解 是 恒 等 变 形, 因式分解的对象是多项式． (２)因式分解的结果要以积 的形式表示,每个因式必须 是整式． (３)因 式 分 解 时,必 须 分 解 到 每 个 因 式 不 能 再 分 解 为止． " 判断 一 个 式 子 的 恒 等 变 形 是否为因式分解的方法: 一看形式,左边是一个多项 式,右边是几个整式的积的 形式; 二看类型,等号左右两边都 是整式; 三看结果,结果分解彻底． ５１１ (１)公因式可以是单项式, 也可以是多项式． (２)要 善 于 发 现 隐 蔽 的 公 因式,例如,(a－b)与(b－ a)是 一 对 相 反 数,但 它 们 可以通过变形化为含有相 同因式的式子． (１)公因式的提取要彻底, 当一个多项式提取公因式 后,剩 下 的 另 一 个 因 式 中 不 能 再 有 公 因 式．例 如, ２ax＋２bx＋４(a＋b)x＝ ２x[a＋b＋２(a＋b)]＝ ２x(３a＋３b)＝６x(a＋b)． (２)当 多 项 式 的 某 一 项 恰 好是 公 因 式 时,该 项 提 公 因式 后 剩 下 的 应 是１．例 如,４x２ －８ax ＋２x ＝ ２x(２x－４a＋１)． (３)要 对 因 式 分 解 的 结 果 进行 化 简,并 检 查 是 否 分 解彻底． 知识点二　用提公因式法分解因式 公因式 概念 多项式的各项中都含有的相同的因式,叫做各项的 公因式 示例 ma＋mb＋mc 的各项中都含有因式m,故 m 是 ma＋mb＋mc的公因式 确定公因式的步骤及方法 用提公因式法分解因式的步骤及方法 【例２】分解因式:(１)６a２－４ab＋２a; (２)－５xy＋１０y２;　(３)a(x－３)＋２b(x－３); (４)(１＋x)(１－x)－(x－１)． 解:(１)６a２－４ab＋２a＝２a(３a－２b＋１)． (２)－５xy＋１０y２＝－５y(x－２y)． (３)a(x－３)＋２b(x－３)＝(x－３)(a＋２b)． (４)(１＋x)(１－x)－(x－１)＝(１＋x)(１－x)－[－(１－ x)]＝(１＋x)􀅰(１－x)＋(１－x)＝(１－x)(１＋x＋１)＝ (１－x)(x＋２)． ６１１ 用提公因式法分解因式有技巧 (１)如果多项式第一项的系数是负的,那么一般提出 “－”号,同时多项式中的各项都变号． (２)如果多项式中,某些项的系数为小数(或分数), 那么一般要提取小数(或分数),使多项式的各项的 系数为整数．例如,０．５x２－２xy＝０．５x(x－４y)． (３)当一个式子的公因式是多项式时,可以把该多项 式作为一个整体,提取公因式时比较简便． (４)要检验分解因式的结果是否正确,可以用整式的 乘法进行验证． 知识点三　用公式法分解因式 公式法 运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分 解的方法叫做公式法． 常用公式及可套用公式的多项式特征 常用公式 公式的文字描述 可套用公式的多项式特征 a２－b２＝ (a＋b)(a－b) 两个数的平方差 等于这两个数的 和与这两个数的 差的积 (１)多项式可写成二项式的 形式; (２)每一项的绝对值都可写 成平方的形式,且符号相反 a２±２ab＋ b２＝(a±b)２ 两个数的平方和 加上(或减去)这 两个数的积的２ 倍,等 于 这 两 个 数的和(或差)的 平方 (１)多项式可写成三项式的 形式; (２)有两项的绝对值是两个 数(或式子)的平方,且这两 项符号相同; (３)另外一项是这两个 数 (或式子)的积的２倍 x２＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)􀅰 (x＋q) (拓展) (１)二次项系数是１; (２)常 数 项 是 两 个 因 式 的积; (３)一次项系数是常数项中 的两个因式的和 (１)字 母 取 值:公 式 中 的 字 母a,b 既可以是数,也可以