8.3 完全平方公式与平方差公式-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

８．３　完全平方公式与平方差公式 知识点一　完全平方公式 符号语言 (a＋b)２＝a２＋２ab＋b２;(a－b)２＝a２－２ab＋b２ 文字语言 两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方 和加(或减)这两个数乘积的２倍 结构特征 (１)等式左边是两个相同的二项式相乘(即二项式 的平方); (２)等式右边是一个二次三项式,首尾两项分别是 二项式两项的平方,中间一项是二项式两项乘积 的２倍． 简记为:首平方,尾平方,积的２倍在中央 图形助记 　　(a＋b)２＝　a２　＋　２ab　＋　b２　; 　(a－b)２　 ＝ 　a２　 －　２ab　 ＋　b２　 【例１】计算: (１)(３x＋２)２;　(２)(－２x＋１)２;　(３)(－３x－y)２． 解:(１)(３x＋２)２ ＝(３x)２＋２×３x×２＋２２ ＝９x２＋１２x＋４． (２)方法１:(－２x＋１)２ ＝(－２x)２＋２×(－２x)×１＋１２ ＝４x２－４x＋１． (１)公式中的字母a,b 可以 表示具体的数,也可以表示 单项式或多项式． (２)利用完全平方公式计算 时,要注意２ab 项前面的符 号,更不能漏掉２ab项． (３)运算时注意巧用公式的 变形,如(－a－b)２＝(a＋ b)２,(－a＋b)２＝(a－b)２． ３０１ 用 完 全 平 方 公 式 计 算 时, 首先 要 确 定 是 用“和 的 完 全平方公式”还是用“差的 完全平方公式”,然后根据 选择的“和”或“差”确定公 式中的“a”和“b”,最后选 择对应的公式计算即可．  形如a２±２ab＋b２ 的多项 式叫做完全平方式． (１)公式中的字母a,b 可 以表 示 具 体 的 数,也 可 表 示单项式或多项式．当公式 中的a 与b 不是单个数字 或字 母 时,运 用 公 式 计 算 要加括号． (２)运 用 平 方 差 公 式 的 关 键是确定公式(a＋b)(a－ b)＝a２－b２ 中的a 和b,完 全相同的项是a,符号相反 的项是b,确定a 和b 后套 用公式即可． 方法２:(－２x＋１)２ ＝(２x－１)２ ＝(２x)２－２×２x×１＋１２ ＝４x２－４x＋１． (３)方法１:(－３x－y)２ ＝(－３x)２－２􀅰(－３x)􀅰y＋y２ ＝９x２＋６xy＋y２． 方法２:(－３x－y)２ ＝(３x＋y)２ ＝(３x)２＋２􀅰３x􀅰y＋y２ ＝９x２＋６xy＋y２． 完全平方公式的常见变形 (１)a２＋b２＝(a＋b)２－２ab; (２)a２＋b２＝(a－b)２＋２ab; (３)(a＋b)２＝(a－b)２＋４ab; (４)(a－b)２＝(a＋b)２－４ab; (５)２ab＝(a＋b)２－(a２＋b２); (６)４ab＝(a＋b)２－(a－b)２． 知识点二　平方差公式 符号语言 (a＋b)(a－b)＝a２－b２ 文字语言 两个数的和与这两个数的差的乘积,等于这两个数 的平方差 结构特征 (１)等式左边是两个二项式相乘,这两个二项式中 有一项完全相同,另一项互为相反数; (２)等式右边是两项的平方差,即相同项的平方减 去互为相反数的平方． 简记为:两数和乘以两数差,等于两数平方差 【例２】计算: (１)(４x＋５y)(４x－５y); (２)(２a＋３b)(３b－２a); (３)(－３a－２b)(３a－２b)． ４０１ 解:(１)(４x＋５y)(４x－５y) ＝(４x)２－(５y)２ ＝１６x２－２５y２． (２)(２a＋３b)(３b－２a) ＝(３b＋２a)(３b－２a) ＝(３b)２－(２a)２ ＝９b２－４a２． (３)(－３a－２b)(３a－２b) ＝(－２b－３a)(－２b＋３a) ＝(－２b)２－(３a)２ ＝４b２－９a２． 平方差公式的“八般变化” (１)位置变化:(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝ a２－b２． (２)符号变化:(－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－b)＝ －(a２－b２)＝b２－a２． (３)系数变化:(３a＋２b)(３a－２b)＝(３a)２－(２b)２＝ ９a２－４b２． (４)指数变化:(a２＋b３)(a２－b３)＝(a２)２－(b３)２＝ a４－b６． (５)增项变化:(a＋２b－c)(a－２b＋c)＝[a＋(２b－ c)][a－(２b－c)]＝a２－(２b－c)２＝a２－４b２＋２× ２bc－c２＝a２－４b２＋４bc－c２． (６)增因式变化:(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝ (a２－b２)􀅰[(－a)２－b２]＝(a２－b２)２． (７)连用公式变化:(a＋b)(a－b)(a２＋b２)＝(a２－ b２)(a２＋b２)＝a４－b４． (８)逆用公式变化:a２－b２＝(a＋b)(a－b)． 【例３】计算:(b－２)(b２＋