8.2 整式乘法-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

８．２　整式乘法 知识点一　单项式与单项式相乘 单项式的 乘法法则 单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积 的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连 同它的指数作为积的一个因式 一般步骤 (１)系数相乘———确定积的系数,在相乘时,先确 定符号,再计算绝对值; (２)同底数幂相乘———底数不变,指数相加; (３)只在一个单项式里含有的字母———连同字母 的指数作为积的一个因式 示例 　　　　(－３a２b)􀅰２a ＝(－３×２ 系数相乘 )􀅰(a２􀅰a 同底数幂相乘 )􀅰 b 单独字母 ＝－６a３b 【例１】计算:(１)(－３a)􀅰(２ab); (２)(－８ab)􀅰 ( ３ ４a ２b); (３)５m３n􀅰(－３n)２＋(６mn)２􀅰(－mn)－mn３􀅰 (－４m)２． 解:(１)原式＝(－３×２)×(a􀅰a)􀅰b＝－６a２b． (２)原式＝ (－８× ３ ４)a １＋２b１＋１＝－６a３b２． (３)原式＝５m３n􀅰９n２＋３６m２n２􀅰(－mn)－mn３􀅰１６m２＝ ４５m３n３－３６m３n３－１６m３n３＝－７m３n３． 单项式与单项式相乘的三点注意 (１)积的系数等于各系数的积,要特别注意系数的符号． (２)凡是在单项式里出现过的字母,在它的计算结果 中也应全部出现,不能漏掉． (３)若有乘法、乘方混合运算,则应按“先乘方,再乘 法”的顺序进行运算． (１)单 项 式 相 乘,就 是 运 用 乘法交换律与结合律,将其 转化为数与数相乘、字母与 字母相乘,同时要特别注意 系数的符号． (２)单项式乘以单项式的结 果仍是单项式． (３)单项式的乘法法则对于 三个 或 三 个 以 上 的 单 项 式 相乘也适用． 单项式乘以单项式,结果仍 是单项式． １９ (１)从运算性质来看,单项 式的除法是有理数的除法 与同底数幂的除法的结合． (２)结果是否正确,可用单 项式的乘法检验． " 单项式除以单项式的运算 顺序:有乘方的先算乘方, 同级运算按照从左到右的 顺序 进 行,有 括 号 的 先 算 括号里面的． 知识点二　单项式除以单项式 单项式的 除法法则 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的 因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的 指数作为商的一个因式 一般步骤 (１)系数相除———确定商的系数,在相除时,先确定 符号,再计算绝对值; (２)同底数幂相除———底数不变,指数相减; (３)只在被除式里含有的字母———连同字母的指数 作为商的一个因式 示例 　　　　　４a２b÷２a ＝(４÷２ 系数相除 )􀅰(a２÷a 同底数幂相除 )􀅰 b 单独字母 ＝２ab 【例２】计算:(１)２８x５y３÷７x４y; (２)(３a２b３c４)２÷ (－ １ ３a ２b４ ); (３)５(２a＋b)４÷(２a＋b)２． 解:(１)原式＝(２８÷７)􀅰(x５÷x４)􀅰(y３÷y)＝４xy２． (２)原式＝９a４b６c８÷ (－ １ ３a ２b４ )＝－２７a２b２c８． (３)原式＝(５÷１)􀅰(２a＋b)４－２＝５(２a＋b)２． 单项式除以单项式的三点注意 (１)商的系数等于各单项式系数的商,要特别注意系 数的符号． (２)注意不要遗漏只在被除式中出现的字母． (３)注意整体思想的运用．例如,本例(３)中将(２a＋ b)视为一个整体进行单项式除以单项式的运算． ２９ 知识点三　单项式与多项式相乘 乘法法则 单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一 项分别相乘,再把所得的积相加 符号表示 (m,a,b,c都是单项式) 图示 大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和 【例３】计算:(１)(４a－b)(－２b)２; (２)( ３ ４x ２y－ １ ２xy ２－ ５ ６y ３ )(－４xy２); (３)２mn(－２mn)２－３n(mn＋m２n)－mn２． 解:(１)原式＝(４a－b)􀅰４b２＝１６ab２－４b３． (２)原式＝ ３ ４x ２y􀅰(－４xy２)－ １ ２xy ２􀅰(－４xy２)－ ５ ６y ３􀅰(－４xy２)＝－３x３y３＋２x２y４＋ １０ ３xy ５． (３)原式＝２mn􀅰４m２n２－３mn２－３m２n２－mn２ ＝８m３n３－３mn２－３m２n２－mn２ ＝８m３n３－３m２n２－４mn２． 单项式与多项式相乘,“先分后合”得结果 单项式与多项式相乘的一般步骤如下: 第１步:按顺序把单项式和多项式中的每一项相乘 (做到不重不漏,多项式中的每一项都包括其前面的 符号),注意符号变化; 第２步:把所得的积合并同类项,得到的结果化至 最简． (１)单项式与多项式相乘的 实质 是 利 用 分 配 律 将 其 转 化为 前 面 学 过 的 单 项 式 与