专题十三 分类讨论思想在等腰三角形中应用 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题十三 分类讨论思想在等腰三角形中应用 分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。分类讨论思想对于训练学生思维的严密性有至关重要的作用。在等腰三角形中有如下几种情形需分类讨论。 1、 底和腰不确定需分类讨论 【例1-1】用一条长的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为 ． 【例1-2】一个等腰三角形的两边长分别是，则这个三角形的周长为 ． 针对练习1 1 .已知等腰三角形的两边长为a，b，且满足与互为相反数，则三角形的周长为 ． 2.已知一个等腰三角形的三边长分别为 2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长． （1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容． 解：①当 2x﹣1=x+1 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）． ②当 2x﹣1=3x﹣2 时，解 x等于多少，此时是否能构成三角形（回答“能”或“不能”）． （2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长． 2、 底角和顶角不确定需分类讨论 【例2-1】一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是，它的三个内角可能是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2-2】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．    针对练习2 1.已知等腰三角形中的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或80° 2 .在学习等腰三角形的性质时，某学习小组交流探究了下列问题： 已知是等腰三角形，若，分别求另外两角的度数． 经过独立思考，同学们进行了交流．甲同学说：“另外两角分别是和”；乙同学说：“另外两角都是”．对此丙同学提出了不同的看法…． (1)如果你是该学习小组的一员，请发表你的意见，并说明理由； (2)经历了上面问题的讨论，请谈谈你的感受． 3 .已知等腰三角形中的一个内角为100°，则这个等腰三角形的顶角为 3、 高的位置不确定需分类讨论 【例3-1】在等腰三角形中有一个角为，则腰上的高与底边的夹角为 ． 【例3-2】已知的高所在的直线交于点，若，则的度数为___________． 针对练习3 1 .若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 2 .在平行四边形中，，BE是AD边上的高，，则的度数为 ． 3 .等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 4、 与中线有关的分类讨论 【例4-1】若等腰三角形一腰上的中线分周长为和两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长 【例4-2】已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 针对练习4 1 .在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24 cm和30 cm的两部分，则BC的长为 (　　)cm A．14 B．16或22 C．22 D．14或22 2 .在周长为10的ABC中，，BD为ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为两部分，两部分的差值为2，则底边长为 ． 5、 与腰的中垂线有关的分类讨论 【例5-1】已知，在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，则 ． 【例5-2】在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 针对练习5 1 .中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，垂直直线于E，若，则的长是 ． 2 .已知线段垂直平分线上有两点、，若，，则（  ） A． B． C．或 D．或 6、 动点问题的分类讨论 【例6-1】如图，的顶点A，C在直线l上，，，若点P在直线l上运动，当是等腰三角形时，的度数是 ． 【例6-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　　（填“大”或“小”）． （2）当DC