1.1.2 空间向量的数量积运算 练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a b<0”是“<a,b>为钝角”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在三棱锥A-BCD中,若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则 = ( ) A. B.1 C. D.0 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a (b+c)= ( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 4.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,<,>= ( ) A.30 B.60 C.90 D.120 5.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠ABC=,<,>=,PA=2,AB=1,BC=3,则PC= ( ) A. B.2 C. D.1 6.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 7.已知正四面体A-BCD的棱长为1, ABC的重心为G,则线段DG的长为 ( ) A. B. C. D. 8.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个数量积中结果为-a2的是 ( ) A.2 B.2 C.2 D.2 9.(多选题)已知几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列说法中正确的是 ( ) A.(++)2=3 B. (-)=0 C.向量与向量的夹角是60 D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为| | 10.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a b=-,则两异面直线的夹角为 . 11.在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为 ABC的重心,则 (++)= . 12.如图,两条异面直线a,b所成的角为60 ,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.若A'E=2,AF=3,EF=,则线段AA'的长为 . 13.如图,在三棱锥P-ABC中,D为棱BC上一点,且CD=2BD,M为线段AD的中点. (1)用,,表示向量; (2)若AB=AC=3,AP=4,∠BAC=∠PAC=60 ,求 . 14.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M. (1)求证:AO,BO,CO两两垂直; (2)求<,>的大小. 15.在平面直角坐标系中,已知A(-1,4),B(3,-6),现沿x轴将坐标平面折成120 的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为 ( ) A.2 B.2 C.8 D.3 16.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=60 ,AC1=. (1)求侧棱AA1的长; (2)若M,N分别为D1C1,C1B1的中点,求 及异面直线AC1和MN的夹角. 答案 1.B [解析] 当<a,b>= 时,a b<0,但<a,b>不是钝角,即由“a b<0”不能推出“<a,b>为钝角”,又当<a,b>为钝角时,a b<0,所以“a b<0”是“<a,b>为钝角”的必要不充分条件.故选B. 2.B [解析] =(++) = ++ .因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以 =0, =0,所以 =0+12+0=1,故选B. 3.B [解析] 由正方体的性质可得,⊥,⊥,故 =0, =0,∵=a,=b,=c,∴a (b+c)= (+)= + =0.故选B. 4.D [解析] 如图,连接BD,A'D,则=,∴<,>是∠DBA'的补角.∵A'D=A'B=BD,∴∠DBA'=60 ,∴<,>=120 .故选D. 5.C [解析] 由已知得=++,所以||2=(++)2=+++2 +2 +2 =22+12+32+2 2 1 +2 2 3 +2 1 3 =3,所以||=,故选C. 6.C [解析] 由AC⊥b,BD⊥b可得AC⊥CD,BD⊥CD,故 =0, =0,∴ =(++) = ++ =0+||2+0=1,∴cos<,>==,∴<,>=60 ,即a与b所成的角是60 .故选C. 7.D [解析] 连接AG并延长,交BC于点M,连接DM.∵G是 ABC的重心,∴AG=AM,∴=,则=+=+=+(-)=+ =(++),又(++)2=+++2 +2 +2 =1+1+1+2 (cos 60 +cos 60 +cos 60 )=6,∴||=,即线段DG的长为.故选D. 8.AC [解析] 对于A,2 =2||||cos 120 =2a acos 120 =-a2,故A正确;对于B,2 =2||||cos 60 =2a acos 60 =a2,故B错误;对于C,2 =2||||cos 180 =2