立体几何知识整理-2024届高三数学一轮复习

空间中的点线面 一、空间点、直线、平面表示和位置关系 点、线、面位置关系（点为元素，线和面为集合） 点与线的关系：点A的直线上，记作：；点A在直线外，记作 点与面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面内，记作 线与面的关系：线在平面上，记作：；点A在直线外，记作 两直线相交：两直线交于A点，记作： 两面相交：两平面交于直线，记作： 二、平面基本性质的三种表示及主要作用（基本性质不需要证明，也叫公理） 1、基本事实1：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示：A、B、C不共线， 推论1：一直线和直线外一点确定一平面 推论2：两相交直线确定一平面 推论3：两平行直线确定一平面 2、基本事实2：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 符号表示： 作用： 判断直线是否在平面内 3、基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号语言： 事实3的作用： ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 三、证明共点、共线、共面问题 1、证明三点共线 方法一：找出两个平面，然后证明三点都是这两个平面的公共点，根据事实3可知三点都在交线上 方法二：选择两个点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上 2、证明三线共点问题 第一步：先说明两条直线交于一点， 第二步：说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交 第三步：于是得到交线也过此点。 3、证明点、线共面的方法 同一法：先由事实1确定一个平面，再由事实2证明有关的点、线在此平面内 重合法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明两个平面重合 四、异面直线 1、异面直线的概念和画法 概念：把不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线 画法：通常用一个或两个平面衬托 2、异面直线的成角 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角) 注意: 1、与所成的角的大小只由的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； 2、如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相重直。两条互相垂直的直线 ,记作 3、异面直线所成的角的范围是 4、两条直线的重直，既包括相交垂直，又包括异面垂直。 5、计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 3、空间的两条直线的位置关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 五、直线与平面位置关系 直线与平面有三种位置关系： 1、直线在平面内部——有无数个公共点（） 2、直线与平面相交—— 有且只有一个公共点（） 3、直线在平面平行—— 没有公共点 （） 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示 六、平面与平面的位置关系 1、 两平面平行——没有公共点 （） 2、 两平面相交——有无数个公共点 （） 习题： 1.设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“ 在同一个平面上”的____________________条件. （充分不必要） 2.已知，是不同的点，，，是不同的直线，，是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为___________ （① ） ①，，，②，存在唯一直线，，且 ③，④确定一个平面且， 3.如图所示，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的有_________ （① ） ①三点共线 ②不共面 ③不共面 ④共面 4.已知正方体，分别是，的中点，，， , （1）求证：，，，四点共面 （2）求证：三点共线 （3）求证：三线共点 答案：（1） （2）思路：三点共线，此线为两个面的交线上，即三个点都在两个面上在平面和平面，所以共线 （3）,所以四边形为梯形，设 ，所以 ，，所以，所以 5.如图是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，则在正方体中，直线与直线的位置关系为____________ 它们所成角大小为______ (异面，60°) 6.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列说法： ①诺，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则； 其中说法