5.1任意角和弧度制课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.1任意角和弧度制 第2课时 弧度制 第五章 三角函数 探究一：弧度制与角度制 生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制;度量质量可以用千克、磅等不同的单位制. 问题1：角的度量单位是什么?换算的进制是多少?它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小? 情境设置 角度制：度、分、秒 六十进制：1度=60分 1分=60秒 角度(°) 实数 换算？ 2 探究一：弧度制与角度制 问题2：角射线𝑂𝐴绕端点𝑂旋转到𝑂𝐵形成角𝛼，在旋转过程中，射线𝑂𝐴上的一点 𝑃(不同于点𝑂)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角𝛼.设， ，点 𝑃所形成的圆弧的长为,求弧长𝑙与半径的比值. 情境设置 【解析】：因为所以. 3 探究一：弧度制与角度制 问题3：上述问题2中，射线𝑂𝐴上的一点𝑄(不同于点𝑂)，𝑂𝑄= ，在旋转过程中，点𝑄所形成的圆弧的长为，求弧长 与半径 的比值，其与问题2中的比值有何关系? 情境设置 【解析】：因为<m></m>，所以<</m>. 故<m></m>. 结论：可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定. 4 新知生成 知识点一 角度值与弧度制 1.角度值 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的 ． 且 2.弧度制 规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号 rad表示，读作弧度．把半径为1的圆叫作单位圆.如图，在单位圆𝑂中， </m>的长度等于1，则就是1弧度的角．根据上述规定，在半径 为𝑟的圆中，弧长为𝑙的弧所对的圆心角为𝛼rad，那么 ． 5 新知生成 知识点一 角度值与弧度制 3.角度与弧度的互化 一般地，只需根据 就可以进行弧度和角度的换算了． 4.一些特殊角与弧度数的对应关系 度 弧度 0 2 6 小试牛刀 1.与角终边相同的角是( ) A. B. C. D. 2. 的角度为( ) A. B. C. D. 3.的弧度为( ) A. B. C. D. C B A 7 一、弧度制的概念 例题1 下列说法正确的是( ). A. 1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有1弧度的圆心角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 A 【解析】：对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误． 8 新知运用 跟踪训练1 下列说法中，错误的是( ). A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B. 1 弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C.根据弧度的定义， 一定等于 π 弧度 D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 【解析】：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小和圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误， A ， B ， C 正确． 9 二、角度制与弧度制的互化 例题2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1) ；(2) ；(3)；(4) ． 【解析】:(1) . (. (. (4) ． 10 反思感悟 方法总结 角度与弧度的互化技巧: 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式是关键，由它可以得到 (1)度数 弧度数； (2)弧度数度数． 11 二、角度制与弧度制的互化 跟踪训练2 将下列角度与弧度进行互化： (1) ；(2)；(3)；(4)． 【解析】(1) . (． (3) . (4) . 12 探究二：扇形的弧长及面积公式 如图所示，设公路弯道处弧的长为.(图中长度单位：) 情境设置 问题1：弧 的长是多少?求扇形的面积 ? 【解析】： . 13 新知生成 知识点二 扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为，弧长为，为其圆心角，为圆心角的角度数，