6.1.5 向量的线性运算【4大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第二册）

6.1.5 向量的线性运算 一、向量的线性运算 1、一般地，对于实数与，以及向量，有 2、一般地，对于实数，以及向量与，有 二、向量共线定理 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 三、向量共线定理的推论 1、平面向量三点共线定理 对于共面向量，，则三点共线的充要条件是. 2、推论：对于不共线的向量，若，则 （1）点C在直线的外侧（不含点的一侧）的充要条件是； （2）点C在直线的内侧（含点的一侧）的充要条件是. 题型一 向量共线定理证明点共线 【例1】（2023·陕西西安·高一统考阶段练习）若，，是三个互不相同的点，则“”是“，，三点共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2023·湖北武汉·高一校联考期中）设，是不共线的两个非零向量． （1）若，，，求证：，，三点共线； （2）若，，，且，，三点共线，求的值． 【变式1-2】（2023·全国·高一课时练习）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线. 【变式1-3】（2023·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 题型二 向量共线定理证明线平行 【例2】（2023·云南楚雄·高一统考期中）已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： （1），； （2），（其中两个非零向量和不共线）； （3），. 【变式2-2】（2023·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，E为BC中点，用向量方法证明且． 【变式2-3】如图，设分别是梯形的对角线的中点. （1）试用向量的方法证明：； （2）若，求的值. 题型三 已知向量共线(平行)求参数 【例3】（2023·山东滨州·高一统考期中）已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【变式3-1】（2023·四川成都·高一树德中学校考期末）设，是两个不共线的向量，且向量与是平行向量，则实数的值为（ ） A． B．1 C．1或 D．或 【变式3-2】（2023·山西运城·高一统考期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式3-3】（2022·高一课时练习）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（ ） A． B． C． D． 题型四 平面向量共线定理的推论 【例4】（2023·江苏宿迁·高一统考期中）如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（ ）． A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·河北沧州·高一统考期末）在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是 . 【变式4-2】（2023·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 . 【变式4-3】（2023·陕西·高一西安市铁一中学校考期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1.5 向量的线性运算 一、向量的线性运算 1、一般地，对于实数与，以及向量，有 2、一般地，对于实数，以及向量与，有 二、向量共线定理 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时