（8）空间向量与立体几何讲义-2024届高考数学二轮复习填空题

（8）空间向量与立体几何—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之填空题 方法技巧 1.求空间几何体的表面积的方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平 面图形面积的方法求多面体的表面积. （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系. （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 2.求异面直线所成角的方法 （1）平移法：平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；③补形平移. （2）向量法：设异面直线a，b的方向向量分别为a，b，则异面直线a，b所成角的余弦值等于，再结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角. （3）坐标法：建立空间直角坐标系求解. 3.判定平面与平面平行的方法 （1）利用定义，常用反证法完成. （2）利用面面平行的判定定理. （3）利用面面平行的判定定理的推论. （4）面面平行的传递性. （5）利用线面垂直的性质. （6）用向量法证明平面与平面平行. 4.证明线面垂直的常用方法 （1）利用线面垂直的判定定理. （2）利用面面垂直的性质定理. （3）利用面面平行的性质. （4）利用垂直于平面的传递性. 1.设x，，向量，，，且，则________. 2.已知直三棱柱中,,,D,E分别为棱,AB的中点,过点,D,E作平面将此三棱柱分成两部分,其体积分别记为,,则_______;平面截此三棱柱的外接球的截面面积为_______. 3.如图,某款酒杯容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过酒杯口高度,则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________. 4.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________. 5.如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________. 6.已知边长为1的正方体，M为BC的中点，N为平面上的动点.若，则三棱锥的体积的最小值为__________. 7.如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得，且这样的点P有两个； ②的面积越来越小； ③四面体的体积不变. 所有正确的结论的序号是____________. 8.已知三棱锥中，平面ABC，，，则三棱锥外接球的体积为__________． 9.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，.已知G与E分别为与的中点，D与F分别为线段AC与AB上的动点(不包括端点).若，则线段DF长度的最小值为____________. 10.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动(不与A，B重合)，平面ABC，若，二面角等于，则三棱锥体积的最大值为____________． 11.在正三棱锥中,,D是PC的中点,且,则该三棱锥内切球的表面积为________. 12.已知图(1)中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图(2)所示的多面体，则以下结论正确的是___________(写出所有正确结论的序号). ①是正三角形； ②平面平面CGH； ③直线CG与平面AEF所成角的正切值为； ④当时，多面体的体积为. 答案以及解析 1.答案：3 解析：因为，，，且，， 所以，解得， 所以，得. 故答案为：3. 2.答案：, 解析:取AC中点,取中点F,连EF,DF, 平面为平面,, ,, 三棱锥外接球半径, 如下图建系,,,,, 设平面的法向量, ,,不妨设,则, 球心到平面距离, ,. 故答案为:, 3.答案：/ 解析:设圆锥底面圆的半径为Rcm,圆柱形冰块的底面圆半径为xcm,高为hcm,由题意可得,,解得,,设圆柱形冰块的体积为,则.设,则.当时,;当时,.所以在处取得极大值,也是最大值,,故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为. 故答案为: 4.答案： 解析：方法一(建系法)如图，以矩形ABCD的中心O为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.设，则，，，，，，所以，，所以，所以，所以异面直线AE与CF所成的角为. 方法二：如图，在