6.1.2&6.1.3&6.1.4 向量的加法、向量的减法、数乘向量【8大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第二册）

6.1.2&6.1.3&6.1.4 向量的加法、向量的减法、数乘向量 一、向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合， 则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； 向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 二、向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 三、数乘向量 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 题型一 向量的加法运算 【例1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． （1） （2） 【变式1-1】（2023·天津红桥·高一统考期末）化简：（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·新疆·高一校考期末）化简下列各式: （1） （2） 题型二 向量的减法运算 【例2】（2023·高一课时练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【变式2-1】（2023·山东枣庄·高一校考阶段练习）如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： （1）； （2） 题型三 向量的数乘运算 【例3】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量与不共线，求作向量． 【变式3-1】（2023·广西钦州·高一浦北中学校考期中）（多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（ ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·高一课时练习）计算： （1）； （2）． 【变式3-3】（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向. （1）； （2）； （3）. 题型四 已知向量表示未知向量 【例4】（2023·广东汕头·高一校考期中）在中，，若，，则＝（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（20