单元高难问题04函数思想的运用（各大名校50题专项训练）-【倍速学习法】2023-2024学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

单元高难问题04函数思想的运用（各大名校50题专项训练） 【高难问题突破方案与技巧】 函数思想的实质就是用联系变化的观点，提取数学对象并建立函数关系。对函数的图象及性质的研究可以加深对函数性质的理解与掌握。 【各大名校50题专项训练】 一、解答题 1．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）. (1)试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？ (2)该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案： ①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备； ②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备. 试问哪一种方案较为划算？请说明理由. 2．（2023上·上海·高一上海市文来中学校考阶段练习）今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素中有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，. (1)求k和a的值 (2)这种有机体体液内该放射性元素浓度衰减为时，大约需要多少年？ 3．（2022上·上海静安·高一校考期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下， ①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：）与游玩时间（小时）满足关系式：； ②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50． (1)求当玩家游玩6小时时，求此时的累积经验值； (2)若玩家为保证累积经验值不低于60，分别求玩家最短游玩时间和可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间． 4．（2023上·上海浦东新·高一校考阶段练习）随着人工智能的飞速进展，临港某车辆装配车间每2小时装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8小时.从当天开始生产的时刻起，所经过的时间x（单位：小时）与装配完成的车辆数（单位：辆），表示为函数. (1)用分段表示法写出函数的解析式； (2)数学上，常用表示不大于的最大整数，例如，；也叫做取整函数.请用取整函数写出函数的简洁表达式. 5．（2021上·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 6．（2021上·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）某渔业公司今年初用98万购进一艘远洋渔船，每年的捕捞可有50万的总收入，已知使用年（为正整数）所需（包括维修费）的各种费用总计为万元. (1)该船捕捞第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）; (2)该船捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？ 7．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽x（单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度） 8．（2022上·上海长宁·高一统考期末）科学家用死亡生物的体内残余碳成分束推断它的存在年龄．生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳含量大致不变．生物死去后会停止呼吸，此时体内原有的碳含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），且大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设某一刚死亡生物体内碳含量为． (1)按上述变化规律，此死亡生物体内碳含量与死亡年数之间有怎样的关系? (2)当死亡生物体内碳的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了，请问该生物死亡年后，用一般的放射性探测器能测到它体内的碳吗? 9．（2023上·上海·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．    (1)将表示为的函数； (2)当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值． 10．（2022上·上海宝山·高一校考期末）某居民小区的自来水蓄水池足够大，现存有40吨水，水厂每小时可向