6.4.1 平面几何中的向量方法-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.1　平面几何中的向量方法 知识点归纳 一、用向量方法解决平面几何的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中的应用 ①证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔ ＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). ②证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔ ＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). ③求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝(θ为a与b的夹角). ④求线段的长度或说明线段相等，利用向量模的公式：|a|＝＝或||＝(A(xA，yA)，B(xB，yB)). 提示：用向量方法解决平面几何问题的关键是建立数学模型. 题型演练 题型一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 例1 如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. 小结　无论是直线平行还是三点共线问题，应用向量方法解决，实质上是利用向量共线定理. (1)几何图形中要证明线段AB∥CD，只需证明存在实数λ，使得＝λ或x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2). (2)几何图形中要证明A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使得＝λ或存在实数t，使得＝t＋(1－t)(O为A，B，C所在直线外一点). 变式1 在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线. 题型二　用向量解决平面几何中的垂直问题 例2 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC. 小结　利用向量解决垂直问题的方法和途径 方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. 变式2 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 题型三　用向量解决求线段长度或证明线段相等问题 例3 已知△ABC的面积为，AB＝2，·＝1，求AC边长. 小结　用向量法求平面几何中线段的长度问题，即向量模的求解，一是利用图形特点选择基底，转化为向量的数量积，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，利用向量的坐标计算|a|＝(a＝(x，y))，即把向量问题中的几何关系代数化，使问题解决程序化，从而降低难度. 变式3 如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形.试用向量法证明：PA＝EF. 总结 1.重要思想与方法 (1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种是建立直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标. (2)利用向量解决平面几何问题应用了转化与化归和数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 利用向量解决平面几何问题的难点是不能将几何问题转化为向量问题，易错点是忽略向量与几何的区别. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）平面向量有这样一个结论：已知O是内的一点，若，，的面积分别为，，，则.设O为内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·江西九江·高一校考期中）已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（    ） A．的内部 B．线段AB上 C．直线BC上 D．的外部 4．（2023下·福建漳州·高一校联考期中）已知为所在平面内一点，，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·广东清远·高一阳山县南阳中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中的值为（    ） A． B．6 C． D．24 6．（2023下·福建·高一校联考期中）在中