专题7.2 锐角三角函数实际应用（四大常考模型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题7.2 锐角三角函数实际应用（四大常考模型） 【题型1：背靠背模型】 【题型2：母子型】 【题型3：三角形—+矩形型】 【题型4：拥抱型】 【题型1：背靠背模型】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】（2023秋•高青县期中）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°． （1）求新坡面AC的长度； （2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离． 【变式1-1】（2023秋•牟平区期中）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•电白区期中）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米． （1）求∠CDB的度数； （2）求取水点A到取水点D的距离． 【变式1-3】（2023秋•正定县期中）超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为2.7s．已知∠B＝45°，∠C＝30°． （1）求B，C之间的距离（结果保留根号）． （2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据 ≈1.7， 【变式1-4】（2023秋•松江区期中）如图，已知梯形ABCD是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽AD＝6米．坝高18米，迎水坡CD的坡度i1＝1：1，背水坡AB的坡度i2＝1：，求坝底宽BC． 【变式1-5】（2023•安阳二模）如图所示，某数学活动小组选定测量一棵大树AB的高度．他们在大树一侧的楼上观测点D处测得大树底端A的俯角为40°，在楼上观测点C处测得大树顶端B的仰角为30°，已知AE的距离为15米，CD＝3米．求大树AB的高度．（结果精确到1米．参考数据：1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 【题型2：母子型】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2】（2023秋•淄川区期中）两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．（结果保留根号） 【变式2-1】（2023秋•禹城市期中）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，测得仰角为15°（即∠CAB＝15°），当笔直向山行6千米时，小明看气象站测得仰角为30°（即∠CBD＝30°）．你能算出这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？ 【变式2-2】（2023秋•乳山市期中）商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝45°，改造后的斜坡式扶梯的坡角∠ACB＝15°，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度BC．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 【变式2-3】（2023•天桥区三模）育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走7米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上． （1）求∠ABC的度数； （2）求新教学楼OB的高度． （参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）． 【变式2-4】（2023•阿荣旗二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该