第14讲 相似模型2023-2024学年人教版九年级数学下册

第14讲 相似模型 【考点】平行线类相似模型 【重难点】在常见的一些变形图形中，前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系等． 【易错点】平行类相似模型虽然是平行线分线段成比例的一种衍生，但是不同与后者的是平行线类相似模型更多的情况是利用相似图形的性质去证明一些结论，可能会用到一些其他的模型，方法比较综合． 【知识点】“A”型 如图，，则有． 【知识点】“8”字型 如图，，则有． 【常见的一些变形】 注意：构造平行的方法实质是为了构造出“A”型和“8”字型． 【知识点】“A”字型 1. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=________． 2. 如图所示，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，且AB＝12，EF＝9，则DF的长为 3. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是_____． 【知识点】“8”字型 4. 如图，▱ABCD中，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG︰S△ABG＝ 5. 如图，在平行四边形中，，若，则为 ． 6. 梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知中，，，与相交于，则的值为多少？ 【知识点】射影定理： 1．定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理模型如图所示： 由图得，由，可得： 由，可得： 由，可得： 2．射影定理推广：若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立． 如下图， 如上图，当时，，则有：，即： 【知识点】射影定理 8. 已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，DE⊥AB于F，交BE于G，FD、AC的延长线交于点H，求证：． 【知识点】一线三等角相似模型 如下图， 图1 图2 图3 重点是一条线中的“线”上的三个角要保证相等，利用同角的补角相等近一步证明 【知识点】一线三等角 1. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（　　） A.9 B.12 C.15 D.18 2. 为等腰直角三角形，其中，，点为中点，将一含角的三角板的一个锐角顶点落在点处，三角板绕点旋转，三角板两边分别与边与边交于点、两点． （1）求证：△BDE∽△CFD； （2）△BDE和△EDF是否相似，若相似，请证明，若不相似，说明理由。 【拓展】 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当 ，BP′=5时，求线段AB的长． 2. 如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若，求的值． 3. 如图，正方形ABCD的边长为，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF （1）利用射影定理证明：△BOF∽△BED； （2）若DE=2CE，求OF的长 【课后练习】 1. ▱ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论中错误的是（ ） A.△ABE∽△DGE B.△CGB∽△DGE C.△BCF∽△EAF D.△ACD∽△GCF 2. 如图，已知，，求证：△ABC∽△EDA 3. 如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2： （1）求EF的长； （2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积． 4. 如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，，，则________ 5. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：． 6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC