第07讲 函数的奇偶性与周期性知识清单-2024届高三数学一轮复习

第07讲 函数的奇偶性与周期性 【必备知识】 1、函数的奇偶性定义 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数的定义域内任意一个 都有，那么函数是偶函数 都有，那么函数)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)为偶函数； (2)为奇函数． 注：判断函数奇偶性的两种方法 ①定义法： ②图象法： 如：判断下列函数的奇偶性： （1） ； （2）； （3）；（4） （5） 2、周期性的定义：设函数，如存在非零常数，使得对任何且，则函数为周期函数。为函数的一个周期。 3、常用结论 （1）函数奇偶性常用结论 ①如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有；如果函数是偶函数，那么． 如：1、设为增函数，且为偶函数，求的解集 2、为定义在上的奇函数，当时，求为定义在上的解析式。 ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． （2）函数周期性常用结论 ； ； （3）函数图象的对称性 ①若对于上的任意都有则的图象关于直线对称。 ②若对于上的任意都有则的图象关于对称。 ③若对于定义域内的任意都有，则函数是周期函数，周期为。 4、复合函数研究函数性质一般用换元法。 考点23 函数奇偶性的判断 【常见方法】判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 特别提醒：对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在使，不能判断函数是奇函数． 【例23】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 考点24 函数奇偶性的应用 【常见方法】利用函数奇偶性可以解决以下问题 （1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值． （2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． （3）求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．　 （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性． 【例24】1、函数是上的奇函数，当时，，则当时，＝(　　)A．　　　　B． C． D． 2、已知函数是奇函数，则函数的值域为(　　) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－3,3) D．(－4,4) 3、若函数为偶函数，则＝________. 考点25 函数的周期性 【常见方法】函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若是函数的周期，则也是函数的周期． 【例25】1、已知定义在上的函数满足，当时， ，则＝(　　)A．5　　　　B. C．2 D．－2 2、函数满足，且在区间上，则的值为________． 3、已知是定义在上的函数，且满足，当2≤x≤3时，，则＝___. 考点26　函数的对称性 【常见方法】对称性的三个常用结论 （1）若对于上的任意都有则的图象关于直线对称。 （2）若对于上的任意都有则的图象关于对称。 （3）若函数满足，则函数的图象关于点对称 【例26】1、已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论中不正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的最小正周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 2、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0，4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________． 3、设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $$