专题15函数的应用（6个知识点10种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

专题15函数的应用（6个知识点10种题型） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.函数关系的建立 知识点2.函数的零点的概念 知识点3.二次项系数时，二次不等式与相应二次函数的联系 知识点4.零点存在性定理 知识点5.二分法 知识点6.二分法求函数零点近似值的步骤 【方法二】 实例探索法 题型1.二次函数模型 题型2.分段函数模型 题型3.几何图形中的建模问题 题型4.最优化问题 题型5.方程法求函数零点 题型6.图像法研究函数的零点 题型7.用函数观点解不等式 题型8.零点存在性定理与二分法的理解 题型9.确定零点所在的区间 题型10.二分法求方程的根 【方法三】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.函数关系的建立 一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图像有如下关系： 判别式=b2-4ac >0 0 <0 二次函数y=ax2+bx+c 的图像 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等实数根x1=x2 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 没有交点 知识点2.函数的零点的概念 （1）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． （2）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根的个数⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点的个数⇔函数y＝f(x)的零点的个数． 知识点3.二次项系数时，二次不等式与相应二次函数的联系 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 知识点4.零点存在性定理 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 要点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有． ③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点5.二分法 二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 知识点6.二分法求函数零点近似值的步骤 用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 【方法二】实例探索法 题型1.二次函数模型 1．（2021·上海市西南位育中学高一期末）经市场调查，某商品在过去的100天内销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t(单位：天)的函数，且销售量满足，价格满足，). （1）求该种商品的日销售额与时间t的函数关系； （2）若销售额超过16000元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度？ 题型2.分段函数模型 2．（2021·上海闵行区·高一期末）由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），且游客人均消费近似地满足（元），，. （1）求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式； （2）记（1）中的最小值为，若以0.3（千元）作为资