6.3 专题能力提升　平面向量中的最值与范围问题-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3 专题能力提升　平面向量中的最值与范围问题 知识点归纳 一、解决向量线性运算中的最值与范围问题，一般利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后利用函数的性质或基本不等式求最值. 二、解决向量数量积的最值问题，一般是把该数量积转化为关于某一自变量的函数，根据函数的性质以及满足题目条件的自变量的范围，确定函数的值域，从而得到结论. 三、求向量模的最值与范围一般要应用公式|a|＝进行转化为函数或基本不等式求解，或利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解. 题型演练 题型一　向量线性运算中的最值与范围问题 例1 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，求＋的最小值. 变式1 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________. 题型二　向量数量积的最值与范围问题 例2 已知·＝0，M是线段BC的中点. (1)若||＝2||，求向量－与向量＋的夹角的余弦值； (2)若O是线段AM上任意一点，且||＝2||＝2，求·＋·的最小值. 变式2 已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则·的取值范围是(　　) A. B. C. D. 题型三　向量模的最值与范围问题 例3 已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________. 变式3 已知点A(4，3)和B(1，2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为(　　) A.5 B.5 C.3 D. 题型四　向量夹角的最值与范围问题 例4 已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为(　　) A. B. C. D. 变式4 已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2023下·山西运城·高一统考期中）已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（   ） A．27 B．0 C． D． 3．（2023下·安徽·高一校联考阶段练习）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知为的重心，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）已知单位向量，满足，若非零向量，其中x，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2022下·山东·高一山东师范大学附中校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 二、填空题 8．（2021·高一课时练习）已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cos α， sin α)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为 ． 9．（2023下·山东潍坊·高一校联考期中）设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则 ；若在线段上，且，则的取值范围为 . 10．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）已知，，则的取值范围是 ． 11．（2023下·江苏南京·高一统考期中）如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为 ．    12．（2023下·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）已知，则向量与向量的夹角为钝角时的取值范围是 ． 13．（2023下·广东·高一校联考期末）已知均是单位向量，若不等式对任意实数都成立，则与的夹角的最小值是 . 14．（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为 ． 15．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知向量满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 16．（2023下·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界