4.4数学归纳法课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4 数学归纳法 证明某类命题 多米诺骨牌的全部倒下 数学归纳法的原理 数学归纳法的应用 类比思想 数学抽象 逻辑推理 数学运算 研究思路 逻辑推理 等差数列{}的首项为，公差为d. 那么 ， …… 归纳可得 如果{}是一个等差数列，怎样得到 ？ 以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确。 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 问题1 问题导入 3 答案： ， ， . 问题2 已知数列 满足 ， ，计算 ， 猜想其通项公式，并证明你的猜想. 猜想通项公式为： （n∈N*） （n∈N*） 4 已知数列 满足 ， ，计算 ， 猜想其通项公式，并证明你的猜想. 问题2 答案：仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想不一定正确. 如：17世纪，法国大数学家费马发现，对于 ，分别验证n=1，2，3，4，这个数均为质数，从而猜测：对于任意的自然数，这个数都是质数．半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可拆成两个数的乘积． 追问1 仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？ 猜想通项公式为： （n∈N*） （n∈N*） 5 问题2 已知数列 满足 ， ，计算 ， 猜想其通项公式，并证明你的猜想. 答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证. 但当n较大时，验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明. 因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立. 追问2 该如何证明这个猜想呢？ 猜想通项公式为： （n∈N*） （n∈N*） 6 类比迁移 问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 类比迁移 使所有骨牌都能倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 追问（1）：条件（1）的作用是什么？ 类比迁移 使所有骨牌都能倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 提供了基础 追问（2）：条件（2）的作用是什么？ 类比迁移 使所有骨牌都能倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 提供了基础 递推关系： 第k块骨牌倒下 第k+1块骨牌倒下 由 及递推关系 追问（3）：证明猜想“数列的通项公式是 ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 类比迁移 由 及递推关系 …… 递推关系： 命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立. 如果n=k时猜想成立， 那么 即当n=k+1时，猜想也成立. ， 即 骨牌原理 猜想的证明步骤 （1）第一块骨牌已经倒下 （1）证明n=1时，猜想正确 （2）证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的 （2）证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题 根据（1）（2），所有骨牌都能倒下 根据（1）（2），这个猜想对一切正整数n都成立 12 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 问题4 什么是数学归纳法？ 学习新知 13 追问（1）：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？ 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基 归纳递推 追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基 归纳递推 追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 归纳奠基 归纳递推 记 是一个关于正整数n的命题. 追问（2）：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 归纳