3.2.2 双曲线的简单几何性质课件（第1课时）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.掌握双曲线的简单几何性质． 第 3 章圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） 学习目标 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3.掌握 双曲线“定义、图像、方程、性质”之间相互转化的方法. 双曲线的定义及标准方程 标准方程 图 形 焦点坐标 双曲线定义 a、b、c 的关系 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹． 一.回顾与探究 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质? 如何研究这些性质? x F1 F2 y O M(x,y) F1 F2 O x y A1 A2 B1 B2 • • 椭圆的简单几何性质：①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率 本节，我们将类比椭圆研究双曲线性质 一.回顾与探究 3 o Y X 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 |x|a,|y|≤b F1 F2 A1 A2 B2 B1 椭圆的图像与性质 范围、对称性、顶点、离心率. 渐近线 类比椭圆,探讨双曲线 的几何性质: 5 实物投影 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。 二、对称性 一、范围 以-x代x方程不变，故图像关于 轴对称； x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 三、顶点(与对称轴的交点) 以-y代y方程不变，故图像关于 轴对称；。 以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 对称 y x 原点 二.双曲线的几何性质 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y o -b b -a a 如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长； 线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长 （2） 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线 （3） 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度， 双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗?它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别? 四、离心率 二.双曲线的几何性质 离心率对图像的影响 8 双曲线 在无限延伸的过程中无限接近两条直线 这两条直线称为双曲线的渐近线． 过双曲线的两个顶点A1(－a，0)，A2(a，0)分别作y轴的平行线 x = ±a， 经过B1(0，－b)，B2(0，b)分别作x轴的平行线 y = ±b． 这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线就是双曲线的两条渐近线． 二.双曲线的几何性质 五、渐近线 9 追问：如何求双曲线的渐近线？ 在双曲线标准方程中，把“1”换成0，将式子变形 10 双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、范围： y≥a或y≤-a 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点： B1(0,-a), B2(0,-a) 4、对称轴： 5、渐近线方程： 6、离心率： 实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 探究：焦点在y轴上的双曲线的几何性质都有什么？　 二.双曲线的几何性质 （e>1 ） 方程变为： l 等轴双曲线:实轴和虚轴等长（ ） 它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. 双曲线的简单几何性质 三.题型与方法 题型一 问题辨析 √ × × × √ 注意： （1）共轭双曲线；等轴双曲线；共渐近线双曲线等概念及其性质； （2）离心率及取值范围； （3）顶点与虚轴端点；实轴长与a；虚轴长与b；双曲线与其渐近线的相互关系等。 三.题型与方法 题型二 根据双曲线方程研究几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 三.题型与方法 题型二 根据双曲线方程研究几何性质 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质． 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置． [跟踪训练]1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 三.题型与方法 题型三 由几何性质求双曲线的标准方程 三.题型与方法 题型三 由几何性质求双曲线的标准方程 1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路：由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法． 当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论； 方